数学经典易错题会诊与高考试题预测9(4)

∴4k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0, ∴k2=,满足0

43∴△ABD可以为正△，此时x0=

2

113.

2 经过抛物线y=4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点．

(1)若线段AB的中点为M(x，y)，直线的斜率为A，试求点M的坐标，并求点M的轨迹方程；

答案：设A(x1,y1)、B（x2,y2）,直线AB的方程为：y=k(x-1)k≠0) 把y=k(x-1)代入y2=4x得:

kx?(2k?x1?x2?222?4)x?k2k22?04k?42k?y1?y2?k(x1?1)?k(x2?1)

2?x1?x2k?2??x?22k?22?2k???点M的坐标为M(,)2kky1?y22?y???2k?消去k可得点的轨迹方程为：y=2x-2(x>0)

(2)若直线l的斜率k>2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围．

512

|3?k2?22?4?52k?m|?答案：?d∴|3?∴

6k2?k15

6k2|?8k?m|?1?3?6k2?8k?m??1

?8k??1?3?m

8k?4?0?6k2∵k?2?0?6k2?32,0??8k?112

∴0<1-3-m<∴0<1-3-m<∴

152112112

或0<1-3-m<

192112

192∴?192

3 在以O为坐标原点的直角坐标系中，已知点T(-8，0)，点M在y轴上，点N在x轴的正半轴上，且满足TM?MP?0,MP?PN.

(1)当M在y轴上移动时，求点P的轨迹C；

16

???答案：设点P（x,y）由?MP?????PN，知P是M、N中点，又M在y轴上，N在x轴正半

轴上，故M坐标为（0，2y）,N个坐标为（2x,0）.(x>0)

?????(8,2y),?????(x,?y)TMTMMP??????????0,PM得8x-2y即y=4x(x>0)

2=02

故点P的轨迹是（0，0）为顶点，以（2，0）为焦距的抛物线.(除去原点)

(2)若动直线l经过点D(4，0)，交曲线C与A、B两点，求是否存在垂直于x轴直线l'被

以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l'的方程，若不存在，请说明理由． 答案：设AD中点为H，垂直于x轴的直线l′的方程为x=a. 以AD为直径的圆交l′于E、F两点。EF的中点为G 因为|EH|=|AD|

21121x1?42(x1?4)?y122（其中（x1,y1）为坐标），|HG|=|1?a|

所以|EG|2=|EH|2=[（x1-4）2+yx2]-[(x1-2a)2+4]

44=[(x1-4)2+4x1]-[(x1-2a)2+8(x1-2a)+16]=[4ax1-12x1-4a2+16a]

444111=（a+3）x1-a2+4a

所以当a=3时，以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值，l′的方程x=3.

命题角度4

对直线与圆锥曲线的关系的考查 1．(典型例题Ⅰ)设双曲线C：

xa22?y2?1(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围； (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P，且PA?512PB，求a的值．

[考场错解] (1)由C点与l相交于两个不同的点， 故知方程组

?x22?y?1??a2??x?y?1 有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①故

4a4+8a2(1-a2) >0

解得：0

21?aa2?1a2?1,

∵0

2 ∴e?62即离心率e的取值范围(

?51262,??)．

(Ⅱ)，设A(x1，y1)B(x2，y2)P(0，1)∵PA∴(x1，yl-1)=

512PB,

(x2，y2-1)由此得x1=

512x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以

17

1712x2??2a22,5121?ax2?22a221?a消去x2得?2

2a22?28960?a??1713.

1?a [专家把脉] (1)没有考虑到1-a≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0． [对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

?x22?y?1,?2?a??x?y?1

有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0

2??1?a?0所以?422??4a?8a(1?a)?0解得0

2双曲线的率心率e=

1?aa2?1a2?1?0?a?2且 a≠1，∴e>

62且e≠，

2即离心率e的取值范围为(

62)∪(

2)．

?512PB(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)．∵PA∴(x1,y1-1)=

1712512

2

(x2,y2-1)由此得x1=

2x2512x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a≠0，所以

2a22x2=-

2a22,512??2a221?a1?a，消x2，得-2

?28960，由a>0，所以a=

17131?a

2．(典型例题Ⅱ)给定抛物线C：y=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小； (Ⅱ)设FB??AF，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

[考场错解] (1)设OA与OB夹角为α；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1．易得

2222OA2

OB=x1x2+y1y2=-3，

|OA||OB|?x1?y1?x2?y2?41cosα=

OA?OB|OA||OB|??34141∴α=-arccos

(Ⅱ)由题意知FB??AF?FB??AF，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'．

∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9] 设l的方程为y=k(x-1)由???y?k(x?1)??y2?4x得kx-(2k +4)x+k=0

2222

18

∴x=

k2?2?2kk22?1 ∴|AA'|=

k2?2?2kk22?1+l

=

2(k2?1)?2kk22?1

|BB'|=

k2?2?2kk22?1?2(k2?1)?2kk22?1

?|BB'||AA'|?2(k2(k2222?1)?2k?1)?2k2222?1?1??

43,?34]?4?2(k2(k?1)?2k?1)?2k?1?1?9(k?0)?k?[? [专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．

[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．

22

将y=x-1代入方程y=4x，并整理得x-6x+1=0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1．

OA?OB=(x1，y1)2(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3．

所以OA与OB夹角的大小为π-arc cos即??x2?1??(1?x1),?y2???y134141 (Ⅱ)由题设FB??AF得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，

①

②

由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③

联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线l方程为(λ-1)y= (x-1)或(λ-1)y=2?(x-1)．当λ∈[4，9]时，l在 y轴上的截距为??1或-??1 由??1=∴4≤

32?2?2?2?2??12???143，可知：

432???134在[4，9]上是递减的，

??1≤，-≤-

2???1≤-

43343443直线l在y轴上截距的变化范围为[-，- ]∪[，]． 3．(典型例题)已知椭圆C：

xa22?yb22?1(a>b>0)的左、右焦点为Fl、F2，离心率为e直线l:y=ex+a

与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点Fl关于直线l的对称点为P，设AM??AB.

19

(1)证明：λ=1-e2；

(Ⅱ)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

[考场错解] (Ⅱ)要使△PF1F2为等腰三角形必有三种情况： (1)当|PF1|=|F1F2|时 设点p的坐标是(x0，y0)

?y0?01???x0?ce则??x0?c?y0?0?e??a?22?2?e?3c?x0?2e?1解得??22(1?e)a??y0?2e?1?

由|PF1|=|F1F2| 得[

2

(e22?2)c?1?c(e22]+[?1)?1(e22

2(1?e)ae22]2?4c12

??1?e?2e?12两边同时除以4a，化简得

?e22e 从而e2=3于是

?c][223.

(2)当|PF1|=|F1F2|时，同理可得[解得e=3于是λ=1-3=-2． (3)当|PF2|=|F1F2|时，同理可得解得e2=1 于是λ=1-1=0

23[?3)c?1(e22?3)c?1?c]2

ee2

(e?3)ce?122?c][2?(e?3)ce?122?c]2=4c

2

综上所述，当λ=或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形．

[专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为

等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|

(2)没有注意到椭圆离心率的范围．

[对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-e)(0,a).

?y?ex?a,x??c,?222由?x得这里c?byy?,??1,?22cb?a2a,0a?b.

2所以点M的坐标是(-c,

a?a??c??e?e即?2?b??a??ab2a)，由AM??AB得(-c+

ae,b2a)=λ(e，a)．

a

解得??1?e2

证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-e，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由

AM??ABa 得(x0?ae,a)，

20