|CD|=
1?(?1k)?|x3?x4|?22(??3). ④
将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤ 同理可得|AB|=∵当λ>12时，
1?k.|x1?x2|?22(??12). ⑥
2(??3)>
2(??12),∴|AB|<|CD|
假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为d=
|x0?y0?4|2|??12?322?4|?322.⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+|故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|
CD2
AB2|?292???122???32?|CD2|.
2|为半径的圆上．
(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)
2
A、B、C、D共圆?△ACD为直角三角形，A为直角?|AN| =|CN|2|DN|， 即(AB2)2?(|CD|2?d)(|CD|2?d). ⑧
??122由⑥式知，⑧式左边==(2(??3)2?322)(2(??3)2?322?,由④和⑦知，⑧式右边
,??32?92)???122
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-λ=0．⑤ 解③和⑤式可得 xl，2=不妨设A(1+
?CA?(CA?(3?122???122,x3,4??1??1?2??3.
),D(?1?2??12,3?12??12,C(??33?2,??32??33?,??32)
??12?2??33?,??3?2??12??12)3???12?2??33?,??3?2
)计算可得CA?CAD四点共圆．
?0,∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、
(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD) 专家会诊
6
1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．
2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形??
3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等． 考场思维调练
1 已知椭圆的中心O是坐标原点，A是它的左顶点，F是它的左焦点，l1，l2分别为左右准
线，l1与x轴交于O，P、Q两点在椭圆上，且PM⊥l1于M,PN⊥l2于N，QF⊥AO，则下
列比值中等于椭圆离心率的有( )
(1)|PF||PM|;(2)|PF||PN|;(3)|AO||BO|;(4)|AF||BA|;(5)|QF||BF|
A.1个 B．2个 C.4个 D．5个
答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于
|AO||BO|?aa2=e，故(3)正确；
c对(5)，可求得|QF|= |BF|=
a2b2a,
?ec?c?b2c,故|QF||BF|,故(5)正确；(2)显然不对，所选C．
2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经
过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c，静放在点A的小球 (小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 ( ) A．4a B．2(a-c)
C.2(a+c) D．以上答案均有可能
答案： D 解析：(1)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B；
(2)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小
球经过的路程是2(a+c)，则选C；
(3)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A. 于是三种情况均有可能，故选D. 3 已知椭圆椭圆于N
(1)用a，t表示△AMN的面积S；
(2)若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值．
xa22+y=1(a>1)，直线l过点A(-a，0)和点B(a，ta)(tt>0)交椭圆于M．直线MO交
2
7
答案：易得l的方程为了y=(x+a)?1分由
2tt?y?(x?1)?2?,?2?x?y2?12??a得(at+4)y-4aty=0
222
解得了y=0或y=(1)得， S=
4atat?4224atat?422即点M的纵坐标yM=
4a224atat?422S=S△AMN=2S△AOM=|OA|2yM=
4atat?422 (2)由
=
4t (t>0)
?at2a令V=+a2t，V′=-t44t2+a2由V′=O?2at?
当时t>
2a时，V′>0；当0 2a时，V′<0．．．10分 2a若1≤a≤2，则，故∈[1，2]当t=时，Smax=a若a>2，则0< 4a222a<1，∵V=+ a2t在[1， t42]上递增，进而S(t)为减函数．∴当t=1时，Smax= ?a(1?a?2)Smax??4a2(a?2)?2?4?a 4?a综上可得 命题角度2 对双曲线相关知识的考查 1．(典型例题1)已知双曲线x-2 y22=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?MF2?0，则 点M到x轴的距离为 ( ) A.43B.53C.233D.3 [考场错解] B [专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义． [对症下药] C 由题意得a=1，b=|MF2|= |ex0-a|=| 2 2，c= 3可设M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=| 3x0+1|， 3x0-1| 2 2 2 由|MF1|+|MF2|=|F1F2|得 x0=2．(典型例题)已知双曲线 △OAF的面积为 a253则y02?43,|y0|?233.即点M到x轴的距离为 233. xa22?yb22=1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， 2(O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( ) 8 A．30° B．45° C．60° D．90° [考场错解] B [专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角． [对症下药] D 由题意得A( a2c,abc)s△OAF= 122c2 abc?12ab?a22?a?b，则两条渐近线为 了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°． 3．(典型例题Ⅲ)双曲线 xa22?yb22=1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0,b)，且点 4(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取 5值范围． [考场错解] 直线l的方程为点(1，0)到直线l的距离: 222xa?yb=1即bx+ay-ab=0点(-1，0)到直线l的距离： ∴ 2b(a?1)a?b22， 45cb(a?1)a?b22b(a?1)a?b22+ b(a?1)a?b22= 2aba?b22?2abc?得5a 4 c?a2 ?2c于是得5 e?1?2e52 2 5,?52]?[52,5]. 即4e-25e+25≤0解不等式得≤e≤5，所以e的取值范围是[?4 [专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1． [对症下药] 解法：直线J的方程为 xa?yb=1，即 bx+ay-ab=0． b(a?1)a?b22由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l的距离d1=同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2=s=d1+d2=由s?45c,得. b(a?1)a?b22. 2aba?b2abc22?2abc. ?45c,即5ac?a22?2c.于是得5e?1?2e.即4e?25e?25?022222 解不等式，得 54?e2?5.由于e?1?0,所以e的取值范围是52?e?5. 专家会诊 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用． 考场思维训练 1 已知F1，F2为双曲线 xa22?yb22=1(a>0,b>0)的两个焦点，过F2作垂直x轴的直线，它与双曲 9 线的一个交点为P，且∠pF1F2=30°，则双 曲线的渐近线方程为 ( ) A.y??2233xB.y??3x C.y?? D.y??2x2答案： D 解析：由已知有选取D 2 若Fl、F2双曲线准线上，且满足F1Oxa22|PF2||F1F2=tan30°= b2ac，所以2a2=b2渐近线方程为y=± 2x,所以 ?yb22=1的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右 OF?OP|OF1||OP|?PM,OP?OM|OP|OM? (1)求此双曲线的离心率； 答案：由 ?????????OPOF1????????F1DPM知四边形PF1OM为平行四边形，又由 ??????????OMOP|????||????OPOF1|????||????|OMOP ???|=c 知OP平分∠F1OM, ∴PF1OM菱形，设半焦距为c，由|?OF1知|?PF???|?c1|????||????|?c,?|????|?|????|?2a?c?2a,又PMPF2PF1PF1|????|PM?e，即c+ 1ac?e e2-e-2=0, ∴e=2(e=-1舍去) (2)若此双曲线过点N(2，答案：∵e=2=有 4a23)，求双曲线方程： xa222ca,∴c=2a, ∴双曲线方程为 2?yy22?1,将点(2,3)代入， 3a2?34a2?1,?a?3 即所求双曲线方程为 x3?9=1. (3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B1，B2(B1在y轴正半轴上)，求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求B1A?B1B时，直线AB的方程． 答案：依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB的方程为y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2) ??y?kx?3?22?(3?k)x?6kx?18?0. 则由???22?x?y?1?9?3 10