第三章 线性空间
习题精解
1. 把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.
1)??(1,2,1,1)?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)
?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)
?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系
??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4
代入所给向量，可得线性方程组
?k1?k2?k3?k4?1?k?k?k?k?2?1234 ??k1?k2?k3?k4?1??k1?k2?k3?k4?1解之，得
k1?因此
5111, k2?, k3??, k4?? 4444???1??2??3??4
2）同理可得
54141414???1??3
2.证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量可由?1,?2,?,?r线性表出.
证 由题设，可以找到不全为零的数k1,k2,?,kr?1使
k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0
显然kr?1?0.事实上，若kr?1?0，而k1,k2,?,kr不全为零，使
k1?1?k2?2???kr?r?0
成立，这与?1,?2,?,?r线性无关的假设矛盾，即证kr?1?0.故
????i?1rki?i kr?1即向量?可由?1,?2,?,?r线性表出.
3.?i?(?i1,?i2,?,?in)(i?1,2,?,n)，证明：如果?ij?0，那么?1,?2,?,?n线性无关.
证 设有线性关系
k1?1?k2?2???kn?n?0
代入分量，可得方程组
??11k1??21k2????n1kn?0??k??k????k?0?121222n2n ????????????????1nk1??2nk2????nnkn?0由于?ij?0，故齐次线性方程组只有零解，从而?1,?2,?,?n线性无关.
4.设t1,t2,?,tr是互不相同的数，r?n.证明：
?i?(1,ti,?,tin?1)(i?1,2,?,r)
是线性无关的.
证 设有线性关系
k1?1?k2?2???kr?r?0
则
?k1?k2???kr?0?tk?tk???tk?0?1122rr ?????????????tn?1k?tn?1k???tn?1k?0?1122rr 1）当r?n时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙
行列式，即
1t1t12?1t22t2????1tn2tn??(tj?ti)?0
??i?jn?1n?1t1n?1t2?tn所以方程组有惟一的零解，这就是说?1,?2,?,?r线性无关.
2）当r?n时，令
??1?(1,t1,t12,?,t1r?1)?2r?1??2?(1,t2,t2,?,t2) ?????????????(1,t,t2,?,tr?1)?rrrr则由上面1)的证明可知?1,?2,?,?r是线性无关的.而?1,?2,?,?r是?1,?2,?,?r延长的向量，所以?1,?2,?,?r也线性无关.
5.设?1,?2,?3线性无关，证明?1??2,?2??3,?3??1也线性无关. 证 设由线性关系
k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0
则
(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0
再由题设知?1,?2,?3线性无关，所以
?k1?k3?0??k1?k2?0 ?k?k?0?23解得
k1?k2?k3?0
所以?1??2,?2??3,?3??1线性无关.
6.已知?1,?2,?,?s的秩为r，证明：?1,?2,?,?s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.
证 设?i1,?i2,?,?ir是?1,?2,?,?s中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量?j(j?1,2,?,s)都可由?i1,?i2,?,?ir线性表出就可以了.
事实上，向量组?i1,?i2,?,?ir,?j是线性相关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾.这说明?j可由?i1,?i2,?,?ir线性表出，再由?j的任意性，即证.
7.设?1,?2,?,?s的秩为r，?i1,?i2,?,?ir是?1,?2,?,?s中的r个向量，使得
?1,?2,?,?s中每个向量都可被它们线性表出，证明：?i,?i,?,?i是?1,?2,?,?s的一
12r个极大线性无关组.
证 由题设知?i1,?i2,?,?ir与?1,?2,?,?s等价，所以?i1,?i2,?,?ir的秩与
?1,?2,?,?s的秩相等，且等于r.又因为?i,?i,?,?i线性无关，故而?i,?i,?,?i是
12r12r?1,?2,?,?s的一个极大线性无关组.
8.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组. 证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.
若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量?不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将?添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.
进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.
9.设向量组为
?1?(1,?1,2,4)，?2?(0,3,1,2)，?3?(3,0,7,14)
?4?(1,?1,2,0)，?5?(2,1,5,6)
1） 证明：?1,?2线性无关.
2） 把?1,?2扩充成一极大线性无关组.
证 1）由于?1,?2的对应分量不成比例，因而?1,?2线性无关. 2）因为?3?3?1??2，且由
k1?1?k2?2?k4?4?0
可解得
k1?k2?k4?0
所以?1,?2,?4线性无关.
再令
k1?1?k2?2?k4?4?k5?5?0
代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即?1,?2,?4,?5线性相关，所以?5可由?1,?2,?4线性表出.
这意味着?1,?2,?4就是原向量组的一个极大线性无关组.
注 此题也可将?1,?2,?4,?5排成5?4的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.
10.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：
1)?1?(6,4,?1,2),?2?(1,0,2,3,?4)，
?3?(1,4,?9,?16,22),?4?(7,1,0,?1,3)?3?(3,0,7,14),?5?(2,1,5,6)?2?(0,3,1,2)?4?(1,?1,2,0)
2?023?4?? 4?9?1622??10?13?41?12)?1?(1,?1,2,4),??1??6????12解 1）设A???????3??1??????4???7对矩阵A作行初等变换，可得
?0?1A???0??04?11?1926??0?10234????4?11?1926??0??1?14?2231??00000?023?4?? 04569?98??1?14?2231?所以?1,?2,?3,?4的秩为3，且?2,?3,?4即为所求极大线性无关组.
3） 同理可得?1,?2,?4为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3.
11.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ） 的秩不超过（Ⅱ）的秩.
证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.
12.设?1,?2,?,?n是一组维向量，已知单位向量?1,?2,?,?n可被它们线性表出，证明：
?1,?2,?,?n线性无关.
证 设?1,?2,?,?n的秩为r?n，而?1,?2,?,?n的秩为n. 由题设及上题结果知
n?r
从而r?n.故?1,?2,?,?n线性无关.
13.设?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明：?1,?2,?,?n线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可被它们线性表出.
证 必要性.设?1,?2,?,?n线性无关，但是n?1个n维向量?1,?2,?,?n,?必线性相