25.设齐次方程组
??11x1??21x2????n1xn?0??x??x????x?0?121222n2n ????????????????1nx1??2nx2????nnxn?0的系数矩阵的秩为r，证明：方程组的任意n?r个线性无关的解都是它的一个基础解系.
证 由于方程组的系数矩阵的秩为r，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n?r.
设?1,?2,?,?n?r是方程组的一个基础解系，?1,?2,?,?n?r是方程组的任意n?r个线性无关的解向量，则向量组
?1,?2,?,?n?r,?1,?2,?,?n?r
的秩仍为n?r，且?1,?2,?,?n?r是它的一个极大线性无关组，同理?1,?2,?,?n?r也是它的一个极大线性无关组，所以?1,?2,?,?n?r与?1,?2,?,?n?r等价，再由上题即证.
26.证明：如果?1,?2,?,?t是一线性方程组的解，那么
u1?1?u2?2???ut?t
（其中u1?u2???ut?1）也是一个解.
证 设线性方程组为
?i1x1??i2x2????inxn?bi(i?1,2,?,m)
由题设，?j?(x1,x2,?,xn)(j?1,2,?,t)是该方程组的t个解，现将
(k)u1?1?u2?2???ut?t?(?ux,?ux,?,?ukxn)
(k)k1(k)k2k?1k?1k?1ttt(j)(j)(j)代入方程组，得
(k)ai1(?ux)?ai2(?ux)???ain(?ukxn)
(k)k1(k)k2k?1k?1k?1ttt(k)(k)??uk(ai1x1(k)?ai2x2???ainxn) k?1tt??ukbi?bi?uk?bi(i?1,2,?,m)
k?1k?1t所以u1?1?u2?2???ut?t仍是方程组的一个解，即证.
27.多项式
2x3?3x2??x?2与x4??x2?3x?1
在?取什么值时有公共根？
解 因为f(x)与g(x)的结式为
2?300R(f,g)?0100200010?200020002 00?3?22?3?02?3??3?101?0?0?3?1??3?1?(??3)(??3?4?2?28??157)
故当???3时，有
R(f,g)?(??3)(??3?4?2?28??157)?0
从而f(x)与g(x)有公共根.此外，由R(f,g)?0还可求得?的3个根，它们皆可使f(x)与g(x)有公共根.
28.解下列联立方程：
22??5y?6xy?5x?16?01)?2 2??y?xy?2x?y?x?4?022??x?y?4x?2y?3?02)?2 2??x?4xy?y?10y?9?022??y?(x?4)y?x?2x?3?03)?3 232??y?5y?(x?7)y?x?x?5x?3?0解 1）由结式
Ry(f,g)?500?6x515x2?16?6?x?105x2?1602x2?x?41?x?12x2?x?4
?32(x4?3x3?x2?3x?2)
?32(x?1)2(x?1)(x?2)?0
可解得下x?1，1，2，-1四个根.
当x?1时，代入原方程组，可得
2??5y?6y?11?0 ?2??y?2y?3?0解此方程组，可得y??1.
当x??1时，代入原方程组，得
2??5y?6y?11?0 ?2??y?1?0解之得y?1.
当x?2时，代入原方程组，可得
2??5y?12y?4?0 ?2??y?3y?2?0解之得y?2.
故原方程组有四组公共解为
?x1?1?x2?1 ??y??1y??1?1?2?x3??1?x4?2 ? ?y?1y?2?4?32）同理可得
Ry(f,g)?4(x?1)(x?3)(x?所以解得
10?3510?35)(x?)?0 5511x1??1，x2??3，x3??(10?35)，x4??(10?35)
55代入原方程组，可得四组公共解为
?x1??1?x2??3 ??y?2y?0?1?211??x??(10?35)x??(10?35)34??55?? ? ??y?5?5?y?5?534??55??3）由
Ry(f,g)?4x2(x?1)2(x?2)2?0
可解得原方程组的组公共解为
?x1?0?x2??1 ? ?y?1y?3?1?2?x3??1?x4??1 ???y4?3?y3?2???x5?2?x6?2 ? ????y5?1?2i?y6?1?2i 29、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（a1，b1）（?a?b?（a1?a2，b1?b2?a1a2）
（kk?1）2k。（a1，b1）=（ka1，kb1+a12
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k。a=0； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：
K．a=a；
8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
a?b=ab，k。a=a
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
k（x?5）?（?x?2）?3
2）令
V+{f（A）f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵} 因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
nn?=A+B?=-A-B=-?（A+B）（A+B）
A+B仍是反对称矩阵。
??K?A（KA）?（K?）A??（）K A所以kA是反对称矩阵，故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是
（-a，a-b）。对于数乘：
21(1?1)2a)?(a,b)2l(l?1)2k.(l.(a,b)?k.(la,lb?a)2l(l?1)k(k?1)?(kla,k[lb?a2]?(la)2)22l(l?1)2k(k?1)?(kla,k[lb?a]?(la)2)22kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,a?(la)2)22kl(kl?1)2?(kla,a?klb)2?(kl).(a,b)(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?[(k?l)a,a?(k?l)b]2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,a?(k?l)b] 2即1。（a，b）（。?1a，1。b?(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)
k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)
＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2)] 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)
k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2a1?kb2?a2?k2a1a2) ＝(ka1?ka2,kb1?22＝(ka1,kb1?