3?e1,e2,e3,e4同2?，同理可得
?1111??12????11?1?1??11A=?B=,?031?11?1?????1?1?11??11????1111???1?11?1?1???1=?, ?41?11?1???1?1?11???则所求由?1,10??11? ?0?1?01???2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为
741?4341?41212001???4?3?4? 1???4?1???4??3??4?14??1B=??1???41???4再令
??a?1+b?2+c?3+d?4
即
??1??1????2??2?1,0,0,0???a,b,c,d?????a,b,c,d????13????0?????4?11??131? ?100?1?1?1??0由上式可解得?在下的坐标为?1,?2,?3,?4下的坐标为 ?a,b,c,d????2,???13??4,????a?1 22?36．继第9题1）求一非零向量?，它在基?1,标 。
?2,?3,?4与?1,?2,?3,?4下有相同的坐
解 设?在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4，则
???x1??x1??????x2??x2? ?=（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）??
xx?3??3??x??x??4??4?
又因为
?2??1 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）??1??1?所以
031053216??6?=（?1,?2,?3,?4）A ?1?3???x1??x1??x1????????x2??x2??x2? ??=A???（A - E）??=0
xxx?3??3??3??x??x??x??4??4??4?又
11A?E??110210531161236?0,且?111?0 11012于是只要令x4??c,就有
?x1?2x2?3x3?6c? ??x1?x2?x3?c
?x1?x3?2c?解此方程组得
x1,x2,x3,x4=?c,c,c,?c? (c为任意非零常数) 取c为某个非零常数c0，则所求?为
????c0?1?c0?2?c0?3?c0?4
37.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。 38
设V1,V2都是线性空间V的子空间,且V1?V2,证明:如果V1的维数和V2的维数相等,那么V1?V2.ar,，因V1?V2， 证 设dim(V1)=r则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1,a2,.....且它们的唯数相等，故a1,a2,.....ar,，也是V2的一组基，所以V1=V2。
39．A?Pn?n。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；
2）当A=E时，求C（A）；
?1???2??3）当A=?时，求C（A）的唯数和一组基。 ?..........................???n???证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A
故 B+D?C(A)。若k是一数，B?C(A)，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A 所以kB?C(A)。故C(A)构成P2）当A=E时，C（A）=Pn?nn?n子空间。
。
3）设与A可交换的矩阵为B=（bij），则B只能是对角矩阵，故维数为n,E11,E22,...Enn即为它的一组基。 40.设
求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记
?100??000????? A=?010???000??E?S
?001??311??????a?并设B=?a1?a?2bb1b2c??c1?与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由 c2??bb1b2c??c1??c2??0??0??3a?a?a12?cc1c2003b?b1?b2??0? 3c?c1?c2??0?000??a???SB=?000??a1?311??a???2?a?BS=?a1?a?2bb1b2c??000??3c????c1??000?=?3c1???c2???311??3c2c??c1? c2??可是c1?c?0
又 ??3a?a1?a2?3c2
?3b?b1?b2?c2即???3c2?3a??a1?a2
c?3b?b?b12?2该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,c2，并 令b=1，其余为0，得c2=3,a=3; 令a1=1，其余为0，得c2=3,a=?令b1=1，其余为0，得c2=1,a=1; 令a2=1，其余为0，得c2=0,a=?令b2=1，其余为0，得c2=1,a=1; 则与A可交换的矩阵为
1; 31; 3?a? B=?a1?a?2bb1b20??0? c2??其中,a,c2可经b,a1,a2,b1,b2表示,所求子空间的一组基为
?1??00???100??310?3??????000010, ,100????, ???003??000??001?????????且维数为5。
41．如果
c1a?c2??c3??0,且c1c3?0 证明：L?a,??=L??,??
证 由c1c3?0，知c1?0,所以a可
?1?00????3?000?? , ?100??????100???000?? ?011????,?经线性表出，即?,?可经?,?线性表出，
同理，?,?也可经?,?线性表出。故L?a,??=L??,??
42．在中，求由向量生成的子空间的基与维数。设
?a1??2,1,3,1??a?(1,2,0,1)?21）?
?a3?(?1,1,?3,0)??a4?(1,1,1,1)?a1??2,1,3,?1??a?(?1,1,?3,1)?2 ??a3?(4,5,3,?1)??a4?(1,5,?3,1) 解 1）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4，因此a1,a2,a4为L?a1,a2,a3,a4?的一组基，且的维数是3。
2）a1,a2,a3,a4得以个极大线性无关组为a1,a2，故a1,a2是L?a1,a2,a3,a4?的一组基，且维数为2。
43．在中，由齐次方程组
?3x1?2x2?5x3?4x4?0??3x1?x2?3x3?3x4?0 ?3x?5x?13x?11x?0234?1确定的解空间的基与维数。
解 对系数矩阵作行初等变换，有
?32?54??32?54??32?54???????3?3???0?38?7???0?38?7? ?3?1?35?1311??03?87??0000???????所以解空间的维数是2，它的一组基为 a1????18??27?,,1,0?，a2??,,0,1? ?93??93?
44.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基与维数.设 1）??a1??1,2,1,0?
??a??1,1,1,1?2??1??2,?1,0,1? ?????1,?1,3,7?2??1??0,0,1,1? ?????0,1,1,0?2??1??2,5,?6,?5? ??????1,2,?7,3?2?a1??1,1,0,0? 2）?
??a?1,0,1,1?2?a1??1,2,?1,?2?? 3）?a2?(3,1,1,1)
?a?(?1,0,1,?1)?3解 1）设所求交向量
??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2
?1?l2?2?0
则有 k1?1?k2?2?l1