k(k?1)2k(k?1)2a1??a2?k2a1a2?ka1a2) 22k(k?1)222(a1?a2)) ＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?2＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1???0??.
7）否，因为(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??) 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i)a?b?ab?ba?b?aii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c)iii)1是零元：a?1?a?1?a1111iv)a的负元是:a??a??1,且?a?1aaaav)1?a?a1?avi)(k?(l?a))?k?(al)?(al)k?alk?akl?(kl)?avii)(k?l)?a?ak?l?ak?al?(ka)?(la)viii)k?(a?b)?k?(ab)?(ab)k?akbk?(k?a)?(k?b)
所以，所给集合R构成线性空间。
?30 在线性空间中，证明：1）k0?0 2）k(???)?k??k?
证 1）k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0
2）因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?.
31 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。
2证 因为cos2t?2cost?1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。
232 如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0
不妨设k1?0,则f1(x)??kk2f2(x)?3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式，这于三者互素矛盾，所以
f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。
33 在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标。设
1）?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1?1),?4?(1,?1,?1,1),??(1,2,1,1)
2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)
?a?b?c?d?1?a?b?c?d?2?解 1）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4则?可得?在基
a?b?c?d?1???a?b?c?d?15111?1,?2,?3,?4下的坐标为a?,b?,c??,d??
4444?a?2b?c?0?a?b?c?d?0?2）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4则?可得?在基?1,?2,?3,?4?3b?d?0??a?b?d?1下的坐标为a?1,b?0,c??1,d?0
34求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pn?n；2）Pn?n中全体对称（反对
称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全
?100????1?3i0?,??体实系数多项式组成的空间,其中A=?0?
2?00?2???解 1)Pn?n的基是E}(i,j?1,2,...,n),且dim(P?ijn?n)?n2.
???...2) i)令Fij????...?????.........1......1............??...??即a?a?1,其余元素均为零,则
ijji?...????F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn? 是对称矩阵所成线性空间Mn 的一组基,所以Mn
是
n(n?1)维的. 2???...ii)令Gij????...?????.........1......?1............??...??即a??a?1,(i?j),其余元素均为零,则
ijji?...????G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn?1,n?是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基, 所以它是
n(n?1)维的. 2iii) ?E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn?是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是n(n?1)2维的.
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2,且对于任一正实数a,可经2线性表出,即.a?(log2a)?2,所以此线性空间是一维的,且2是它的一组基.
4)因为???1?3i2,??1,所以
3?1,n?3q??n???,n?3q?1于是
2??,n?3q?2?1?2A???2??4??1??E,n?3q?3???n?,A??1??E 而A??A,n?3q?1
???A2,n?3q?2??1????35.在P中,求由基?1,，?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵,并求向量?在所指基下的坐标。设
??1???2 1????3???4??1,0,0,0????1??2,1,?1,1?????0,1,0,0????2??0,3,1,0?，?
??0,0,1,0????3??5,3,2,1?????0,0,0,1?????4??6,6,1,3????x1,x2,x3,x4?在?1,?2,?3,?4下的坐标；
??1??1,2,?10????1??2,1,?0,1?????1,?1,1,1??????0,1,2,2???2?2 2??，????1,0,0,0?在?1,?2,?3,?4,下的坐标； ???3???1,2,1,1????3???2,1,1,2?????4??1,3,1,2???4???1,?1,0,1???
??1??1,1,1,1????1??1,1,0,1?????1,1,?1,?1??????2,1,3,1???2?2 3??，? ???3??1,?1,1,?1????3??1,1,0,0?????4??0,1,?1,?1???4??1,?1,?1,1??????1,0,0,?1?在?1,?2,?3,?4下的坐标；
?2??1解 1?（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4,）??1??1?这里A即为所求由基?1,得 （?1,于是
031053216??6?=（?1,?2,?3,?4）A ?1?3???2,?3,?4,到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，将上式两边右乘得??1，
?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）??1，
?x1??x1?????xx?2??1?2? ??（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）??? xx?3??3??x??x??4??4?
所以在基下的坐标为
?x1???x?1?2? ??? x?3??x??4?
1?4?3?94?1?1?9这里?=27?10??371????9?2711??9?123???327?
2?0??3?126??327??1?2?令e1?(1,0,0,0),e2?(0,1,0,0),e3?(0,0,1,0),e4?(0,0,0,1)则
?11?1?1????2?12?1?（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?=(e1,e2,e3,e4)A ??1110???0111????2??1（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?0??1?将(e1,e2,e3,e4)=（?1,
0?21121221??3?=(e1,e2,e3,e4)B ?1?2???2,?3,?4）A?1代入上式,得 ?2,?3,?4）A?1B
（?1,?2,?3,?4）=（?1,这里
365??3????131313??13?15134?????131313?,A?1B=?1??1=?13?02341??????013131313???3278???????131313??13?10
1100011
1??1? ?1?0??
且AB即为所求由基?1,?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵,进而有
?1??1??????0??0????1,0,0,0?=(e1,e2,e3,e4)??=（?1,?2,?3,?4）A?1??
00?????0??0??????3???13??5???? =（?1,?2,?3,?4）13
?2?????13?3??????13?所以?在?1,?2,?3,?4下的坐标为?523??3,,?,??。
1313??1313