?1?21?11??1?21?11??21?12?3??05?34?5?????? ?3?2?11?2??04?44?5?????2?51?220?1?100?????1?21?11??1?21?11??01100??01100????? ???00?84?5??00?84?5?????00?84?500000????又应为
1?2?100100?0 4所以rank(A)?3?5，方程组的基础解系含有2个线性无关大解向量，且原方程组的同解方程组为
?x1?2x2?x3?x4?2x5?0? ?x2?x3?0??8x?4x?5x?0345?x3?1,x5?0，得?1?(?1,?1,1,2,0)?
x3?0,x5?1，得?2?(,0,0,,1)?
则?1,?2为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为
1454??k1?1?k2?2
其中k1,k2为任意常数.
21.用导出组的基础解系表出第1题1）、4）、6）题中线性方程组的全部解，其中
?x1?3x2?5x3?4x4?1?x?3x?2x?2x?x??112345??1)?x1?2x2?x3?x4?x5?3?x?4x?x?x?x?32345?1??x1?2x2?x3?x4?x5??1
?3x1?4x2?5x3?7x4?0?2x?3x?3x?2x?0?12344)? ?4x1?11x2?13x3?16x4?0??7x1?2x2?x3?3x4??0?x1?2x2?3x3?x4?1?3x?2x?x?x?11234??6)?2x1?3x2?x3?x4?1 ?2x?2x?2x?x?1234?1??5x1?5x2?2x3?2 解 1）对原方程组的增广矩阵作初等行变换，可得
rank(A)?rank(Ab)?4?5
所以方程组有无穷多解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原方
程组的同解方程组为
?x1?x4?1??2x4?x5??2 ??x?x?0?24若令x4?1，代入原方程组的导出组，可解得x1?1,x2?1,x3?0,x5??2，于是导出组的基础解系为
??(1,1,0,1,?2)?
且原方程组的一个特解为
?0?(1,0,0,0,?2)?
故园方程组的全部解为
?x1??1??1??x??0??1?2???????x3???0?k???0??k?0? ??????x04?????1??????2????2???x5??其中k为任意常数.
4）对原齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换，可得
rank(A)?2?4
所以方程组有无穷多解，且其基础解系中含有2个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为
?x1?7x2?8x3?9x4?0 ??17x?19x?20x?0234?若令
x3?1,x4?0，得x1?再令
319,x2? 1717x3?0,x4?1，得x1?于是导出组的基础解系为
1320,x2?? 1717?1?(故原方程组的全部解为
3191320,,1,0)?，?2?(?,?,0,1)? 17171717?3??13??x1??17???17??x??????2?1920?x3??k1?1?k2?2?k1???k???
?17??17????????x4?10??????x?5????0???1??其中k1,k2为任意常数.
6）对原方程组的增广矩阵作初等变换，可得
rank(Ab)?3?4
所以方程组有无穷多个解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原
方程组的同解方程组为
?5x2?7x3?2?61???x3?x4??
5?5???x1?x3?0若令x3?1，代入原方程组的导出组，可解得x1?1,x2??解系为
76,x4?，于是导出组的基础55??(1,?,1,)?
且原方程组的一个特解为
7565?0?(0,,0,?)?
故原方程组的全部解为
2515?0??1??x1??2??7??x???????2??x3???0?k???5??k?5?
?0??1????????x4?1????6????x5????5???5??其中k为任意常数.
22.a,b取什么值时，线性方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ??x2?2x3?2x4?6x5?3??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b有解？在有解的情形，求一般解.
解 对方程组的增广矩阵行作初等变换：
?1?3A???0??5?1?0???0??010101020102012141123111?3263?11??111111??0?1?2?2?6a?3?a????? 3??012263????b??0?1?2?2?6b?5?11?0a?? 63??0b?2?于是，只有a?0且b?2时，增广矩阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；当a?0且b?2时，原方程组都无解.
当a?0，b?2时，原方程组与方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?1 ??x2?2x3?2x4?6x5?3同解，且其一般解为
?x1??2?k3?k4?5k5?x?3?2k?2k?6k2345?? ?x3?k3?x?k4?4??x5?k5其中k3,k4,k5为任意常数.
23.设
?x1?x2?a1?x?x?a232???x3?x4?a3 ?x?x?a4?45??x5?x1?a5证明：此方程组有解的充分必要条件为
5?ai?1i?0
在有解的情形，求出它的一般解.
证 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
?1?1000?01?100?A??001?10??0001?1???10001?1?1000a1???01?100a2???001?10a3???0001?1?a4???a5???00000??a1?a2??a3?? a4?5?a?i??i?1?此时A的秩为4，A的秩为4的充分必要条件是
?ai?15i?0
因此，原方程组有解的充分必要条件是
?ai?15i?0
其次，当
?ai?15i?0时，原方程组与方程组与
?x1?x2?a1?x?x?a?232 ??x3?x4?a3??x4?x5?a4同解，所以它的一般解为
?x1?a1?x2?a3a4?k?x?a?a?a?k2234?? ?x3?a3?a4?k?x?a?k4?4??x5?k其中k为任意常数.
24.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.
证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设?1,?2,?,?r是齐次线性方程组的一个基础解系，且a1,a2,?,ar与它等价，则ai(i?1,2,?,r)可由
?1,?2,?,?r线性表出，从而ai(i?1,2,?,r)也是原齐次线性方程组的解.
又由题设知a1,a2,?,ar线性无关，且?1,?2,?,?r可由a1,a2,?,ar线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解?也都可以由a1,a2,?,ar线性表出，即证a1,a2,?,ar也是方程组的一个基础解系.