关，于是对任意n维向量?，它必可由?1,?2,?,?n线性表出.
充分性.任意n维向量可由?1,?2,?,?n线性表出，特别单位向量?1,?2,?,?n可由
?1,?2,?,?n线性表出，于是由上题结果，即证?1,?2,?,?n线性无关.
14.证明：方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn对任何b1,b2,?,bn都有解的充分必要条件是系数行列式aij?0.
证 充分性.由克拉默来姆法则即证.
下证必要性.记
?i?(?1i,?2i,?,?ni)(i?1,2,?,n)
??(b1,b2,?,bn)则原方程组可表示为
??x1?1?x2?2???xn?n
由题设知，任意向量?都可由线性?1,?2,?,?n表出，因此由上题结果可知?1,?2,?,?n线性无关.
进而，下述线性关系
k1?2?k2?2???kn?n?0
仅有惟一零解，故必须有A?aij?0，即证.
15.已知?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s有相同的秩，证明： 与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s等价.
证 由于?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样
?1,?2,?,?r的极大线性无关组也必为
?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.
另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价. 16.设
?1??2??3????r,?2??1??3????r,?,
?r??1??2????r?1
证明：?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r具有相同的秩.
证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知?1,?2,?,?r可由?1,?2,?,?r线性表出. 现在把这些等式统统加起来，可得
1(?1??2????r)??1??2????r r?1于是
?i?1111?1??2???(?1)?i????r r?1r?1r?1r?1(i?1,2,?,r)
即证?1,?2,?,?r也可由?1,?2,?,?r线性表出，从而向量组?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r等价.
17.计算下列矩阵的秩：
?011?12??1?1?02?2?20??2?2? 2）?1）??0?1?111??30???1101?1???03?1?1412682??0?610421917??? 4）?03）??76341??1????353015205???4?1?1?5）?0??0??00100?1000??1100?
?0110?1011??001025210?4?20?? 6?11??001?4?025??136?
?31432?63277??1解 1）秩为4.
2）秩为3. 3）秩为2. 4）秩为3. 5）秩为5.
18.讨论?,a,b取什么值时，下列方程有解，并求解.
??x1?x2?x2?1?(??3)x1?x2?x2????1）?x1??x2?x3?? 2）??x1?(??1)x2?x3?2?
?3(??1)x??x?(??3)x?3?2x?x??x??123?3?12?ax1?x2?x2?4? 3）?x1?bx2?x3?3
?x?2bx?x?423?1解 1）因为方程组的系数行列式
?D?11所以当??1时，原方程组与方程
111?(??1)2(??2)
?1?x1?x2?x2?1
同解，故原方程组有无穷多解，且其解为
?x1?1?k1?k2? ?x2?k1?x?k2?3其中k1,k2为任意常数.
当???2时，原方程组无解.
当??1且???2时，原方程组有惟一解.且
??1?x???1??2?1?x? ?2??2??(??1)2?x3???2?2）因为方程组的系数行列式
3??D?12???11??2(??1)
3??3???3所以当??0时，原方程组的系数矩阵A与增广矩阵A的秩分别为2与3，所以无解.
当??1时，A的秩为2，A的秩为3，故原方程组也无解. 当??0，且??1时，方程组有唯一解
??3?3?2?15??9?x1?2?(??1)???3?12??9? ?x2?2?(??1)??4?3?3?2?12??9?x3??2(??1)??3) 因为方程组的系数行列式
a11D?1b1??b(a?1) 12b1所以当D?0时，即a?1且b?0时，方程组有惟一解，且为
2b?1?x??1b(a?1)?1? x??2b?1?2ab?4b?x??3b(a?1)?当D?0时
1若b?0，这时系数矩阵A的秩为2，而它的增广矩阵A的秩为3，故原方程组无解。
o
o
2若a?1，这时增广矩阵
114??1114??1???0b?10?1?
A??1b13??????12b14????02b?100??所以当a?1,b?1时，A的秩为3，A的秩为，原方程组无解. 21而当a?1,b?时，原方程组有无穷多个解，且其解为
2?x1?2?k??x2?2 ?x?k?3其中k为任意常数.
19. 用消元法解下列线性方程组：
?x1?3x2?5x3?4x4?1?x1?2x2?3x4?2x5?1?x?3x?2x?2x?x??112345?x?x?3x?x?3x?2??12?3451)?x1?2x2?x3?x4?x5?3 2)?
?2x1?3x2?4x3?5x4?2x5?7?x?4x?x?x?x?32345??19x1?9x2?6x3?16x4?2x5?25???x1?2x2?x3?x4?x5??1??x1?2x2?3x3?4x4?4?3x1?4x2?5x3?x7?403)??x2?x3?x4??3?2x?3x?3x3x?1 4)?12?x2?40??
1?3x2??x440??4x1?11x2?13x3?16x???7x2?3x3?x4??3??7x1?2x2?x3?3x4??0??2x1?x2?x?x1?2x2?3x3?x4?13?x4?1?5)??3x1?2x2?2x3?3x3x1?2x2?x3?x4?14?2???5x 6)?2x1?3x2?x3?x4?1
1?x2?x3?2x4??1???2x1?x2?x3?3x4?4?2x1?2x2?2x3?x4?1??5x1?5x2?2x3?2解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有
??135?401??5?40?132?21?1??1300?321??1?21?1?13?????0??43?1?1?411?13??45?1???5?0?7?121?11?1????0?1?481??102?101??01?1?2??100?100021?2???00?32??00?2000?????00?2000?? ?000000????000000????0?1?1100????0?10000??因为
rank(A)?rank(B)?4?5
所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
??x1?x4?1??2x1?x5??2 ??2x3?0???x2?x4?0解得
1??2?2??2???2??