?k1?k2?2l1?l2?0?2k?k?l?l?0?1212 即 ??k1?k2?3l2?0??k2?l1?7l2?0
1?1?2?11?1?221111?0 ?0， 且21 可算得D?110?311001?1?7 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(k1,k2,l1,l2)＝
(?1,4,?.3,1)，得一组基 ????1?4?2?(?5,2,3,4)
所以它们的交L(?)是一维的，?就是其一组基。 2）设所求交向量
??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2
?k1?k2?0?k?l?0?12 则有 ?
k?l?l?0?212??k2?l1?0 因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即k1?k2?l1?l2?0,从而 交的维数为0。
3）设所求交向量为
??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2
?k1?3k2?k3?2l1?l2?0?2k?k?5l?2l?0?1212 即 ?
?k?k?k?6l?7l?02312?1???2k1?k2?k3?5l1?3l2?012由?1?23?1110?2
?0 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令l1?1,，
1171?1?3
可得l2?0，因此交向量??l1?1?l2?2??1就是一组基。
45． 设V1与V2分别是齐次方程组x1?x2?...?xn?0,x1?x2?...?xn?1?xn的解空间，
证明：Pn?V1?V2.
证 由于x1?x2?..?.xn?0的解空间是你
n－1
维的，其基为
?1?(?1,1,0,...,0),?2?(?1,0,1,...,0),...,?n?1?(?1,0,0,...,1)而由 x1?x2?...?xn?1?xn
1).且?1,?2,...,?n?1,?即为P的一组知其解空间是1维的，令xn?1,则其基为??(1,1,...,基，从而Pn?V1?V2.又dim(Pn)?dim(V1)?dim(V2)，故 Pn?V1?V2.。
46． 证明：如果V?V1?V2,V1?V11?V12,那么 V?V11?V12?V2。 证 由题设知V?V11?V12?V2, 因为 V?V1?V2,所以 dim(V)?dim(V1)?dim(V2)， 又因为V1?V11?V12, 所以 dim(V1)?dim(V11)?dim(V12), 故 dim(V)?dim(V11)?dim(V12)?dim(V2)，
47. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
证 设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基。显然L(?1),L(?2),...,L(?n)都是V
的一维子空间，且 L(?1)?L(?2)?...?L(?n)?L(?1,?2,...,?n)＝V 又因为 dim(L(?1))?dim(L(?2))?...?dim(L(?n))?dimV() 故 V?L(?1)?L(?2)?...?L(?n)。
48．证明：和
即证V?V11?V12?V2。
n?Vi?1si是直和的充分必要条件是Vi?i?1?Vj?1i?1j?{0}(i?2,...,s).
证 必要性是显然的。这是因为Vi?i?1?Vj?1j?Vi??Vj?{0} 所以
j?1 Vi??Vj?1j?{0}。
s 充分性 设
?Vi?1i不是直和，那么0向量还有一个分解0??1??2?...??s
其中?j?Vj(j?1,2,...,s). 在零分解式中，设最后一个不为0的向量是
?k(k?s), 则0??1??2?...??k?1??k ，即 ?1??2?...??k?1???k
因此?k??V,?jj?1k?1k?Vk,这Vk??Vj?{0} 矛盾，充分性得证。
j?1k?1
49. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成 一个三维线性空间R。
1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3,
问L1?L2,L1?L2?L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;
3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+V＝X，X?Y，是否一定有Y?Y?U?Y?V.
解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2)L1?L2 ：
（1）直线l1与l2重合时，是L1?L2一维子空间； （2）l1与l2不重合时，时L1?L2二维子空间。
3L1?L2?L3 ：
（1） l1,l2,l3重合时，L1?L2?L3构成一维子空间； （2） l1,l2,l3在同一平面上时，L1?L2?L3构成二维子空间； （3） l1,l2,l3不在同一平面上时，L1?L2?L3构成三维子空间。
3） 令过原点的两条不同直线l1，l2分别构成一维子空间U和V，X＝U＋V是二维子
空间，在l1，l2决定的平面上，过原点的另一条不与l1，l2相同的直线l3构成一维子空间Y，显然Y?X,Y?U?{0},Y?V?{0},因此(Y?U)?(Y?V)?{0} 故Y?(Y?U)?(Y?V) 并不成立。
50．1）证明：在P[x]n中，多项式fi?(x??1)...(x??i?1)(x??i?1)...(x??n) （i＝1，2，…，n）是一组基，其中?1,?2,...,?n是互不相同的数；
2)在1）中，取?1,?2,...,?n是全体n次单位根，求由基1，x,...,xn?1到基f1,f2,...,fn的过渡矩阵。
证 1）设 k1f1?k2f2?...?knfn?0 将x??1代入上式 ，得
f2(?1)?f3(?1)?...?fn(?1)?0,f1(?1)?0 得k1＝0. 同理，将x??2,...,x??n分别代入，可得
k2?k3?...?kn?0
所以f1,f2,...,fn线性无关。而P[x]n是n维的，故f1,f2,...,fn是P[x]n的一组基。
2）取?1,?2,...,?n为全体单位根1,?.?,...,?2n?1,则
xn?1?1?x?x2?...?xn?1 f1?x?1xn?1??n?1??n?2x??n?3x2?...??xn?2?xn?1 f2?x?? ...............................................................................................................
xn?1fn?????2x?...??n?1xn?2?xn?1 n?1x???1?n?1??1?n?2 故所求过渡矩阵为?......??1??1?1?n?2...?n?4......?n?21?......? ...?n?1??...1????2??51．设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且
(?1,?2,...,?s)?(?1,?2,...,?n)A
证明：L(?1,?2,...,?s)的维数等于A的秩。
证 只需证
?1,?2,...,?s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设
...a1s??..?..?
?..?...ans???a11...a1r?..?.A??...?..?.?a?n1...anr且rank(A)?r,r?min(n,s).不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件
??1?a11?1?a21?2?...?an1?n?.............................................??得???a??a??...?a?
r1r12r2nrn?...............................................????s?a1s?1?a2s?2?...?ans?n可证?1,?2,...,?r构成?1,?2,...,?r，?r?1,...,?s的一个极大线性方程组。事实上，设
k1?1?k2?2?...?kr?r?0
于是得(k1a11?...?kra1r)?1?(k1a21?...?kra2r)?2?...?(k1an1?...?kra1r)?n?0
?a11k1?a12k2?...?a1rkr?0?................................ 因为?1,?2,...,?n线性无关，所以?..........?ak?ak?...?ak?0n22nrr?n11该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1?k2?...?kr?0，于是?1,?2,...,?r 线性无关。
其次可证：任意添一个向量?j后，向量组?1,?2,...,?r，?j一定线性相关。事实上，
?a11k1?a12k2?...?a1rkr?a1jkj?0?..........................................设k1?1?k2?2?...?kr?r?kj?j?0，于是? ?ak?ak?...?ak?ak?0n22nrrnjj?n11其系数矩阵的秩为r 52. 设f(x1,x2,...,xn)是一秩为n的二次型，证明：有R的一个 n1(n?s)维子空间V1 2（其中为符号差），使对任一(x1,x2,...,xn)?V1，有f(x1,x2,...,xn)＝0。