】
50. 【2012年崇明区一模文理第22题】 已知数列?an?和?bn?的通项分别为an?2n?1，
，集合A??x|x?an,n?N??， bn?2n?1?1（n?N?）
B??x|x?bn,n?N??，设D?CAB. 将集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d1,d2,d3,...,dn,....
（1）写出d1,d2,d3,d4；
（2）求数列?dn?的前2012项的和；
（3）是否存在这样的无穷等差数列?cn?：使得cn?D（n?N?）？若存在，请写出一个这样的数列，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【[解]：（1）d1?1,d2?5,d3?9,d4?11 （错1个扣1分）
（2）b1?3,b2?7,b3?15,b4?31,...,b10?2?1?2047,b11?2?1?4095
1112a2012?2?2012?1?4023,a2022?4043，
所以d1?d2?d3?...?d2012?a1?a2?a3?...?a2022?(b1?b2?b3?...?b10)
?20222?(212?14)
44484?4096?14?40402
（3）存在。如cn?6n?1,n?N，cn?6n?5,cn?12n?5,n?N（不唯一） （结论1分，通项2分
?证明：cn?6n?1?2?3n?1,n?N，所以3n?N，所以cn?A
???
1?1，所以n??2n(n?N?)，由于上式左边为
3整数，右边为分数，所以上式不成立，所以假设不成立，所以cn?B
假设cn?B，则存在实数k，6n?1?2k?1所以cn?D。即：cn?6n?1,n?N满足要求。 】
?
51. 【2012年奉贤区一模理第24题】（理）正数列?an?的前n项和Sn满足：
rSn?anan?1?1，a1?a?0,常数r?N
（1）求证：an?2?an是一个定值；
（2）若数列?an?是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列?an?是一个有理数等差数列，求Sn．
【24、（理）证明：（1） rSn?anan?1?1 （1） (2)?(1)： ran?1?an?1?an?2?an? （3） ?an?0 ?an?2?an?r （4） ?????4分 1?ar1（2）计算n?1,ra?aa2?1,?a2??r? ?????6分 aa11根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a,r?，a?r，2r?，a?2r，aa1。。。。 3r?，a当r?0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列 ???8分
1111所以r?0时，数列写出数列的前几项：a,，a,，a,，a,，，。。。。 aaaa所以当a?0且a?1时，该数列的周期是2， ?????9分 当a?1时，该数列的周期是1， ?????10分 1??（3）因为数列?an?是一个有理等差数列，所以a?a?r?2?r?? a??2 化简2a?ar?2?0， r?16?r2a?是有理数 ?????12分 422设r?16,是一个完全平方数，设为r?16?k，r,k均是非负整数 2 rSn?1?an?1an?2?1 （2） r?0时，a?1,an?1,Sn?n ?????14分 r?0时(k?r)(k?r)?16=2?8?4?4可以分解成8组，其中 ?r?3,符合要求， ?????16分 只有??k?13n?1n?3n?5?此时a?2,an? ?????18分 Sn?241??或者r?2?a??， ?????12分
a??123等差数列的前几项：a,2a?，3a?，4a?，。。。。
aaan?1 ?????14分 an?na?a
因为数列?an?是一个有理等差数列
1??r?2?a??是一个自然数，a?1,r?0,an?1,Sn?n ?????16分
a??3n?1n?3n?5?此时a?2,r?2,an? ?????18分 Sn?243n?1n?3n?5?如果没有理由，猜想：r?3，解答a?2,an? 得2分 Sn?24 r?0a?1,an?1,Sn?n 得2分
】
52. 【2012年奉贤区一模文第24题】（文）正数列?an?的前n项和Sn满足：
2Sn?anan?1?1，a1?a?0 （1）求证：an?2?an是一个定值； （2）若数列?an?是一个单调递增数列，求a的取值范围； （3）若S2013是一个整数，求符合条件的自然数a． 【24（文）证明：（1） 2Sn?anan?1?1 （1） (2)?(1)： 2an?1?an?1?an?2?an? （3） *任意n?N,an?0, ?an?2?an?2 ?????4分 2Sn?1?an?1an?2?1 （2） 1?2a1?2? ?????6分 aa11根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a,2?，a?2，4?，a?4，
aa（2）计算n?1,2a?aa2?1,?a2?6?1，。。。。 a所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，整个数列成单调递增的充要条件是 1?a?2 ?????8分 a 解得1?a?1?2 ?????10分 a?2?
(3) a2012?2012?S20131,a2013?2012?a a??a1?a3???a2013???a2?a4???a2012?
11???2??2012???a?2012?a??1007??aa???1006221006 ?????14分 ?2026084?1007a?aS2013是一个整数，所以a?1,2,503,1006一共4个
对一个得1分，合计4分
另解：
2S2013?a2013a2004?1??2012?a??2014?S2013 】
1???1 a?1006 ?????14分 ?a2013a2004?1?1007?2012?1007a?a??53. 【2012年虹口区一模文理第22题】已知Sn是数列?an?的前n项和，
11，且a1?． 2Sn?Sn?1?()n?1?2（n?2，n?N?）22（1）求a2的值，并写出an和an?1的关系式； （2）求数列?an?的通项公式及Sn的表达式； ?（3）我们可以证明：若数列?bn?有上界（即存在常数A，使得bn?A对一切n?N 恒成?立）且单调递增；或数列?bn?有下界（即存在常数B，使得bn?B对一切n?N恒成立）且单调递减，则limbn存在．利用上述结论，证明：limSn存在． n??n??【解：（1）a2?111．当n?2时，2Sn?Sn?1?()n?1?2 ①；2Sn?1?Sn?()n?2 ② 22211②—①得2an?1?an?()n．又2a2?1?a1?()1，即n?1时也成立． 221?2an?1?an?()n(n?N?)??????????????5分 2（2）由（1）得2n?1an?1?2nan?1，2a1?1，?2nan是首项为1，公差为1的等差数列， ???2nan?1?(n?1)?1?n，?an?n， n211n?2n?2时，2Sn?Sn?1??()n?1?2，Sn?an??()n?1?2，Sn?2?n，
2221n?2?(n?N)????????10分 又S1?a1?，也满足上式，?Sn?2?n22n?3n?2n?1（3）?Sn?1?Sn?(2?n?1)?(2?n)?n?1?0，??Sn?单调递增，
222n?2又Sn?2?n?2，?limSn存在?????????????????15分 】
n??2
xn的54. 【2012年嘉定区一模文第22题】定义x1，?，“倒平均数”为x2，
（n?N*）．
（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
nx1?x2???xn1，求{an}的通项公式；
2n?4（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn?1，当n为偶数时，bn?2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求limTn； n??（3）设函数f(x)??x?4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数?，使得当x??时，2f(x)?an对任意n?N*恒成立？若存在，求出最大的实数?；若不存在，说明理由． n?1n1?， Sn2n?4【解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意，Tn?所以Sn?2n?4n． ????（1分） 2所以a1?S1?6，当n?2时，an?Sn?Sn?1?4n?2，而a1也满足此式．??（2分） 所以{an}的通项公式为an?4n?2．????（1分） （2）设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n为偶数时，Sn?当n为奇数时，Sn?3n，??（1分） 23(n?1)3n?1． ????（1分） ?1?22?2,当n为偶数??3所以Tn??． ??（3分） ?2n,当n为奇数??3n?12所以limTn?． ??（2分） n??3（3）假设存在实数?，使得当x??时，f(x)?an对任意n?N*恒成立，则n?14n?2对任意n?N*恒成立，????（1分） n?124n?2?0，所以数列{cn}是递增数列，?（1分）令cn?，因为cn?1?cn?
(n?1)(n?2)n?122所以只要?x?4x?c1，即x?4x?3?0， 解得x?1或x?3．????（2分）
a所以存在最大的实数??1，使得当x??时，f(x)?n对任意n?N*恒成立．（2分）
n?1?x2?4x? 】