】
64. 【2012年青浦区一模文理第2题】设m?3，对于项数为m的有穷数列?an?，令bk为
a1,a2,?,ak(k?m)中最大值，称数列?bn?为?an?的“创新数列”．例如数列3，5，
4，7的创新数列为3，5，5，7．
考查自然数1,2,?,m(m?3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列?cn?． （1）若m?4，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列?cn?；
（2）是否存在数列?cn?的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列?cn?，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列
?cn?的个数；若不存在，请说明理由．
【解：（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列?cn?有两个，即3，4，1，2和 3，4，2，1． ?????（每写出一个给2分，多写不得分）4分 （2）存在数列?cn?的创新数列为等比数列．??????????????5分 设数列?cn?的创新数列为{en}，
因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em?m． ????????6分 若{en}为等比数列，设公比为q，因为ek?1?ek(k?1,2,?,m?1)，所以q?1．?7分 当q?1时，{en}为常数列满足条件，即为数列m,m,?,m （或写通项公式en?m(n?1,2,?,m)）； ??????????????9分 当q?1时，{en}为增数列，符合条件的数列只能是1,2,?,m，又1,2,?,m不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个． ????????10分 （3）存在数列?cn?，使它的创新数列为等差数列， ????????11分 设数列?cn?的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em?m．若
{en}为等差数列，设公差为d，
因为ek?1?ek(k?1,2,?,m?1)，所以d?0．且d?N ????????12分 当d?0时，{en}为常数列满足条件，即为数列m,m,?,m（或写通项公式
*en?m(n?1,2,?,m)），
此时数列?cn?是首项为m的任意一个排列，共有Pm?1个数列； ?????14分
m?1当d?1时，符合条件的数列{en}只能是1,2,?,m，此时数列?cn?是1,2,?,m，有1个； ????????15分 当d?2时，?em?e1?(m?1)d?e1?2(m?1)?e1?m?m?2 又m?3
?m?2?0?em?m这与en?m矛盾，所以此时{en}不存在。 ??????17分
综上满足条件的数列?cn?的个数为Pm?1?1个（或回答(m?1)!?1个）． ?????18分
m?1】
265. 【2012年徐汇区一模理第22题】设a?R,把三阶行列式
350中第一行x1x?a4421第二列元素的余子式记为f(x)，且关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)。各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上。 （1）求函数y?f(x)的解析式； （2）若bn?k2(k?0)，求liman2bn?1的值； n??b?2n??an,n为奇数（3）令cn??，求数列?cn?的前2012项中满足cm?6的所有项数之和. c,n为偶数??n21【解：（1）由条件可知，f(x)?x2?ax?????2分 41因为关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)，所以a??????3分 211即函数y?f(x)的解析式为f(x)?x2?x?????4分 4211（2）因为点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上，所以Sn?an2?an 421111即a12?a1?0,因为a1?0，所以a1?2；?????n?1代入，a1?S1?a12?a1，42426分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?12111an?an?an?12?an?1， 4242化简得：(an?an?1)(an?an?1?2)?0?????7分 因为an?0,所以an?an?1?2，即数列?an?为等差数列，且an?2n(n?N*)。?????9分 则bn?kan2?1??2,0?k?1?n2b?12k?1?1?kn，所以limn?limn??,k?1。?????12分
n??b?2n??k?23n??2,k?1??（3）在数列?cn?的前2012项中
n为奇数时，cm?am?2m?6，所以m?3?????14分
n为偶数时，要满足cm?6，则m?3?2t(t?9,t?N*)?????16分
所以，满足cm?6的所有项数之和为3?3?2?3?22???3?29?3069?????18分】
266. 【2012年徐汇区一模文第22题】设a?R,把三阶行列式350中第一行x1x?a4421第二列元素的余子式记为f(x)，且关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)。各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上。 （1）求函数y?f(x)的解析式； （2）若bn?2an，求lim2bn?1的值； n??b?2n??an,n为奇数（3）令cn??，求数列?cn?的前20项之和. c,n为偶数??n21【解：（1）由条件可知，f(x)?x2?ax?????2分 41因为关于x的不等式f(x)?0的解集为(?2,0)，所以a??????3分 211即函数y?f(x)的解析式为f(x)?x2?x?????4分 4211（2）因为点列(an,Sn)（n?N*)在函数y?f(x)的图象上，所以Sn?an2?an 421111即a12?a1?0,因为a1?0，所以a1?2；?????n?1代入，a1?S1?a12?a1，42426分
当n?2时，an?Sn?Sn?1?12111an?an?an?12?an?1， 4242化简得：(an?an?1)(an?an?1?2)?0?????8分
因为an?0,所以an?an?1?2，即数列?an?为等差数列，且an?2n(n?N*)?????10分
则bn?22n2bn?12?4n?1?limn?2?????12分 ?4，所以limn??b?2n??4?2nn（3）n为奇数时，c1?c3???c19?a1?a3???a19?分
(a1?a19)10?200?????14
2n为偶数时，c2?c4?c6?c8???c20?c1?c2?c3?c4???c10
?4c1?2c3?2c5?c7?c9?72?????16分
所以，数列?cn?的前20项之和为200+72=272?????18分 】
67. 【2012年杨浦区一模理第22题】已知函数f?x??3x，数列?an?满足a1?1，2x?3an?1?f?an?,n?N?, 1. 求a2，a3，a4的值； 2. 求证：数列??1??是等差数列； ?an?3. 设数列?bn?满足bn?an?1?an?n?2?，b1?3,Sn?b1?b2?????bn， 若Sn?m?2012对一切n?N?成立，求最小正整数m的值. 23an331,a3?,a4? ??3分 得a2?2an?3573【解：（1）由a1?1，an?1?f?an??（2）由an?1?3an112?? ??8分 得 2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分
3?an?（3）由（2）得
122n?13?1??n?1??,an? ??11分 an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分
2?2n?12n?1?当n?2时 ，bn?an?1an?