所以Sn?b1?b2?????bn?9?11111?9?1???1???????????1??
2?3352n?12n?1?2?2n?1?因为Sn?9?1?m?2012m?2012，所以?1?对一切n?N?成立， ??16分 ??2?2n?1?22又
9?1?1?99m?2011?1??，所以?， ?1??随n递增，且lim??n??2?2n?1?22?2n?1?2 ?mmin?2020 ??18分 所以m?2020，】
68. 【2012年杨浦区一模文第23题】已知函数f?x??3x，数列?an?满足a1?1，2x?3an?1?f?an?,n?N?, 1. 求a2，a3，a4的值； ?1? 2. 求证：数列??是等差数列； ?an? 3. 设数列?bn?满足bn?an?1?an?n?2?，b1?3,Sn?b1?b2?????bn， 若Sn?m?2011对一切n?N?成立，求最小正整数m的值. 23an331,a3?,a4? ??3分 得a2?2an?3573【解：（1）由a1?1，an?1?f?an??（2）由an?1?3an112?? ??8分 得 2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分
3?an?（3）由（2）得11分
当n?2时 ，bn?an?1an?122n?13?1??n?1??,an? ??an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分
2?2n?12n?1?
所以Sn?b1?b2?????bn?9?11111?9?1???1???????????1??
2?3352n?12n?1?2?2n?1?因为Sn?9?1?m?2012m?2012，所以?1?对一切n?N?成立， ??16分 ??2?2n?1?22又
9?1?1?99m?2011?1??，所以?， ?1??随n递增，且lim??n??2?2n?1?22?2n?1?2 ?mmin?2020 ??18分 所以m?2020，】
69. 【2012年长宁区一模文第23题】已知数列?an?中，a1?1,anan?1?2（1）求证数列?an?不是等比数列，并求该数列的通项公式； （2）求数列?an?的前n项和Sn； （3）设数列?an?的前2n项和S2n，若3?1?ka2n??S2n?a2n对任意n?N恒成立，求
*n?n?N? *k的最小值. 【解：（1）a1?1,a2?2,a3?2,?a2a3?a1a2，??an?不是等比数列；???2分 ?an?2?2，?a1,a3,a5,?a2n?1,?及a2,a4,a6,?,a2n,?成等比数列， an?1?n2?2,n为奇数，公比为2，?an??n ?????6分 ?22,n为偶数。?（2）Sn?a1?a2???an， 当n为偶数时，Snn2n2?(a1?a3???an?1)?(a2?a4???an) n1?22(1?2)???3(22?1)；?????8分 1?21?2当n为奇数时，Snn?12?(a1?a3???an)?(a2?a4???an?1)
n?12n?121?22(1?2)???2?21?21?2?3.?????10分
n??3(22?1),n为偶数，因此，Sn???????12分 n?1?2?22?3,n为奇数。?（3） S2n?a1?a2???a2n?(a1?a3???a2n?1)?(a2?a4???a2n)
1?2n2(1?2n)???3(2n?1)。 ?????13分 1?21?2a2n?2n， ?????14分 因此不等式为 3(1-k2n)?3(2n-1)2n， 1?(2n?1)2n11nn，即k-(2-1)，?k?(?2?1)max ??k?nnn222?????16分 1n-(2-1)单调递减；?F(1)= ?0.5最大， n21?k??0.5，即k的最小值为?。?????18分 2?F(n)=】
70. 【2012年长宁区一模理第23题】对数列?an?和?bn?，若对任意正整数n，恒有bn?an，
则称数列?bn?是数列?an?的“下界数列”. （1）设数列an?2n?1，请写出一个公比不为1的等比数列?bn?，使数列?bn?是数列?an?的“下界数列”； （2）设数列an?2n?3n?10,bn?2n?2，求证数列?bn?是数列?an?的“下界数列”；
2n?77,n?1?1?,n?N*，构造 （3）设数列an?2，bn??77n?,n?2??nn?1Tn??1?a2??1?a3???1?an?,Pn??1?b1???1?b2?????1?bn?，
求使Tn?kPn对n?2,n?N恒成立k的最小值.
*1nb?()等，答案不唯一；?????4分 【解：（1）n23271a?2(n?)?，当n?1时an最小值为9,；?????6分 （2）n48
bn?1?2n?71111?1a?a???122?1(1?2)，则a3?a2?a1?,4, 577222n?n?22因此，n?4时，bn最大值为6，?????9分 所以，bn（
?an，数列?bn?是数列?an?的“下界数列”；?????10分
3
）
Tn?(1?分 1111?32?4(n?1)(n?1)n?1)(1?)?(1?)??2??，?11222222n23n23nPn?n?7， ?????12分 nn?1n?1n2?7?k?n?1?k?[]max，?13分 ?k?不等式为，，222(n?7)2(n?7)2nnn?1t??设n?1?t,t?3，则222(n?7)2(t?2t?8)1，????15分 82(t??2)t当t?3时，8t?t单调递增，?t?3时，t?8t取得最小值，因此
n?13[]max?， ?????17分 2222(n?7)3. ?????18分 ?k的最小值为22】
71. 【2012年闸北区一模理第20题】设{an}和{bn}均为无穷数列． （1）若{an}和{bn}均为等比数列，试研究：{an?bn}和{anbn}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）． 【解：（1）①设cn?an?bn， 则设cn2n?12nn?2?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2)(a1q1n?2?b1q2)
n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2
ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??（或） n?1n?1cnan?bna1q1?b1q2当q1?q2时，对任意的n?N,n?2，
2cn?cn?1cn?1（或
cn?1?q1）恒成立， cn故{an?bn}为等比数列； ????????????????????3分
?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n)???????????????????1分
,q?q?1.12?1?q1?当q1?q2时， 证法一：对任意的n?N,n?2，cn证法二：c222?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比数列．??2分 2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q12?q2)]?0，{an?bn}不是等比数列． ?2分 注：此处用反证法，或证明②设dn?anbn， 对于任意n?N，*cn?1不是常数同样给分． cndn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比数列． ??????3分 dnanbn?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2 ???????????????????1分 ),q1q2?1.?1?qq12?（2）设{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，则： ①{an?bn}为等差数列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)????????2分 2②当d1与d2至少有一个为0时，{anbn}是等差数列，????????????1分 n(n?1)a1d2；??????????????????1分 2n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1．??????????????????1分 2③当d1与d2都不为0时，{anbn}一定不是等差数列．????????????1分 若d1?0，Sn?a1b1n? 】
72. 【2012年闸北区一模文第20题】设{an}和{bn}均为无穷数列． （1）若{an}和{bn}均为等比数列，它们的公比分别为q1和q2，试研究：当q1、 q2满足什么条件时，{an?bn}和{anbn}仍是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）． 【解：解：（1）①设cn?an?bn， 则设cn2n?12nn?2?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2)(a1q1n?2?b1q2)
n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2