xn的55. 【2012年嘉定区一模理第22题】定义x1，?，“倒平均数”为x2，
nx1?x2???xn（n?N*）．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为（1）比较cn与cn?1的大小；
a1，记cn?n（n?N*）．
n?12n?4（2）设函数f(x)??x?4x，对（1）中的数列{cn}，是否存在实数?，使得当x??时，2f(x)?cn对任意n?N*恒成立？若存在，求出最大的实数?；若不存在，说明理由．
（3）设数列{bn}满足b1?1，b2?b（b?R且b?0），bn?bn?1?bn?2（n?N*且，且{bn}是周期为3的周期数列，设Tn为{bn}前n项的“倒平均数”，求limTn． n?3）n??【解：（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意得所以Sn?2n?4n，??（1分） 2n1?， Sn2n?4当n?1时，a1?S1?6，当n?2时，an?Sn?Sn?1?4n?2，而a1也满足此式． 所以an?4n?2（n?N*）．??（1分） 所以cn?4n?22，??（1分） ?4?n?1n?1222???0，因此cn?cn?1．??（1分） n?1n?2(n?1)(n?2)cn?1?cn?（2）假设存在实数?，使得当x??时，f(x)?cn对任意n?N*恒成立， 即?x?4x?cn对任意n?N*恒成立，??（2分） 由（1）知数列{cn}是递增数列，所以只要?x?4x?c1，即x?4x?3?0，（2分） 解得x?1或x?3．??（1分）
所以存在最大的实数??1，使得当x??时，f(x)?cn对任意n?N*恒成立．?（1分） （3）由b1?1，b2?b，得b3?|b?1|，??（1分）
① 若b?1，则b3?b?1，b4?|b3?b2|?1，b5?|2?b|，因为{bn}周期为3，故
222
b5?b2?b，所以|2?b|?b，所以2?b?b，2?b??b（舍），故b?1．
此时，{bn}为1，1，0，1，1，0，?．符合题意．??（1分）
② 若b?1，则b3?1?b，b4?|b3?b2|?|1?2b|，因为{bn}周期为3，故b4?b1?1， 所以|1?2b|?1，即1?2b?1或1?2b??1，解得b?0或b?1，均不合题意．?（1分）
?2k,n?3k,?设数列{bn}的前n项和为Sn，则对n?N*，有Sn??2k,n?3k?1,??（1分）
?2k?1,n?3k?2.??2n?3,n?3k,?3?2,n?3k,??2n?23?3n?,n?3k?1, 因此limTn?．即Sn??（2分） ,n?3k?1, 所以Tn??n??2?2n?2?3?2n?1?3n,n?3k?2.?3?2n?1,n?3k?2.??】
56. 【2012年静安区一模文理第22题】某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求： （1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？ （2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=1?10） 【解：（1）地铁营运第n年的收入an?0.0124?(1?0.2)根据题意有：0.0124?(1?0.2)解得n?9年.
（或者0.0124?(1?0.2)n?1n?1n?18，n?N*???2分 ?0.05，???????????4分
?0.05，解得n?10年）
答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金. ??6分 （2）市政府各年为1公里地铁支付费用
第1年：0.05?0.0124；
第2年：0.05?0.0124?1.2； 。。。。。。
第n年：0.05?0.0124?1.2n?1。????????????2分
n年累计为：
0.05n?[0.0124?0.0124?1.2?0.0124?1.22???0.0124?1.2n?1]，?4分
0.0124?(1?1.28)将n?8代入得，0.05?8??0.1954113485亿. ??8分 1?1.2答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为1公里地铁共支付19541135元费用. 】
57. 【2012年静安区一模文第22题】已知a?0且a?1，数列?an?是首项与公比均为a的
等比数列，数列?bn?满足bn?an?lgan（n?N*）. （1） 若a?2，求数列?bn?的前n项和Sn； （2） 若对于n?N*，总有bn?bn?1，求a的取值范围. 【解：（1）由已知有an?2，bn?anlgan?n?2lg2.??????2分 nn????????????9分 Sn?[2?2?22?3?23???(n?1)2n?1?n?2n]lg2， 2Sn?[22?2?23???(n?1)2n?n?2n?1]lg2，??????5分 所以?Sn?(2?2?2???223n?1?2n?n?2n?1)lg2， Sn?2lg2?(n?1)?2n?1lg2. ?????????????8分 （2）bn?bn?1即nalga?(n?1)a所以?nn?1lga.由a?0且a?1得nlga?(n?1)alga.2分
?lga?0?lga?0或?????????????3分
(n?1)a?n?0(n?1)a?n?0???0?a?1?a?1??即?n或?n对任意n?N*成立，?????????5分
a?a???n?1?n?1?
而lim】
nn11?1，且1??，所以0?a?或a?1.????? 8分
n???n?1n?12258. 【2012年静安区一模理第22题】已知a?0且a?1，数列?an?是首项与公比均为a的
等比数列，数列?bn?满足bn?an?lgan（n?N*）. （1）求数列?bn?的前n项和Sn；
（2）如果对于n?N*，总有bn?bn?1，求a的取值范围. 【解：（1）由已知有an?a，bn?anlgan?nalga.2分 所以Sn?[a?2a?3a???(n?1)a23n?1nn?nan]lga， aSn?[a2?2a3???(n?1)an?nan?1]lga，5分 所以(1?a)Sn?(a?a?a???a23n?1?an?nan?1)lga， a(1?an)nan?1lga?lga.????????8分 因为a?1，所以Sn?21?a(1?a)（2）bn?bn?1即nalga?(n?1)ann?1lga.由a?0且a?1得nlga?(n?1)alga.2分
?lga?0?lga?0所以?或????????????3分 (n?1)a?n?0(n?1)a?n?0???0?a?1?a?1??即?或nn对任意n?N*成立，?????????5分 ?a?a??n?1?n?1??而lim】
59. 【2012年卢湾区一模文理第22题】已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n?N*都
有bn?T?bn，则称数列{bn}为周期数列，T是它的一个周期．例如： 数列a，a，a，a，? ① 可看作周期为1的数列； 数列a，b，a，b，? ② 可看作周期为2的数列； 数列a，b，c，a，b，c，? ③ 可看作周期为3的数列?
nn11?1，且1??，所以0?a?或a?1.?????8分 n???n?1n?122
?an为正奇数，（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是an??试再写出该数列的一
bn为正偶数.?个通项公式；
（2）求数列③的前n项和Sn；
1（3）在数列③中，若a?2,b?,c??1，且它有一个形如bn?Asin(?n??)?B的通
2?项公式，其中A、B、?、?均为实数，A?0，??0，|?|?，求该数列的一个通项公
2式bn．
abn?n?【解：（1）an?[1?(?1)n?1]?[1?(?1)n]或an?a|sin（3分） |?b|cos|等．2222n?1（2）当n?3k?1时，Sn?（5分） (a?b?c)?a；3n?2当n?3k?2时，Sn?（7分） (a?b?c)?a?b；3n当n?3k?3时，Sn?(a?b?c)（k?N）．（9分） 32?2?（3）由题意，??0，应有，（10分） ?3，得???32?于是bn?Asin(n??)?B， 32??Asin(??)?B?2,(1)?3?14?1?把b1?2，b2?，b3??1代入上式得?Asin(??)?B?,(2)（12分） 322??Asin(2???)?B??1,(3)??由(1)(2)可得Acos??（13分） A513，再代入(1)的展开式，可得?sin??B?，与(3)联立得B?，22423??（14分） Asin???，于是tan???3，因为|?|?，所以???，223于是可求得A?3．（15分） 2n??1故bn?3sin(?)?（n?N*） 3322n??1或写成bn?3sin[．（16分）】 (3k?1)?]?（k?Z,n?N*）332
60. 【2012年闵行区一模文第22题】将边长分别为1、2、3、?、n、n+1、?（n?N）
的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、??、第n个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8.设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f(n)，记数列?an?满足
*