??f(n),当n为奇数. an????f?an?1?,当n为偶数（1）求f(n)的表达式；
（2）写出a1,a2,a3的值，并求数列?an?的通项公式； （3）记bn?an?s?s?R?，若不等式bn?1bn?2bn?1bn?0有解，求s的取值范围. 解：（文）（1）第n个阴影部分图形的周长为8n, （2分） 【解：8?8n?n 故f(n)?2?4n?4． （4分） n（2）a1?f(1)?8，a2?f(a1)?f(8)?36，a3?f(3)?16 当n为奇数时，an?f(n)?4n?4 （3分） 当n为偶数时，an?f(an?1)?4an?1?4?4?4(n?1)?4??4?16n?4 故an???4n?4,当n为奇数?16n?4,当n为偶数． （5分） ?4n?4?s,当n为奇数（3）bn?an?s?? 16n?4?s,当n为偶数?bn?1bn?2bn?1bn?0有解?bn?1bn?bn?1bn?2?bn?1(bn?bn?2)?0有解， 当n为奇数时，bn?1(bn?bn?2)?0即 ?16(n?1)?4?s????4n?4?s??4(n?2)?4?s????0， 亦即16n?20?s?0有解，故s???16n?20?max??36 （3分） 当n为偶数时，bn?1(bn?bn?2)?0
即?4(n?1)?4?s????16n?4?s??16(n?2)?4?s????0，
于是4n?8?s?0，故s???4n?8?max??16． （5分） 综上所述：s??16． （7分）
】
61. 【2012年闵行区一模理第22题】将边长分别为1、2、3、?、n、n+1、?（n?N）
的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、??、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为f(n)．记数列?an?满足a1?1,an+1??（1）求f(n)的表达式；
（2）写出a2,a3的值，并求数列?an?的通项公式； *??f(n),当n为奇数
??f?an?,当n为偶数1（3）记bn?an?s?s?R?，若不等式00bn0bn?2?0有解，求s的取值范围. bn?122bn?1bn?1【解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2?1，第2个阴影部分图形的面积为42?32，??，第n个阴影部分图形的面积为?2n??(2n?1)2.（2分） 故f(n)?2?22?12???42?32????2n??(2n?1)2??? n2?1?2?3?4???(2n?1)?2n?2n?1 （4分） n（2）a1?1，a2?f(1)?3，a3?f(a2)?2?3?1?7， 当n为偶数时，an?f(n?1)?2n?1， （3分） 当n为大于1的奇数时，an?f(an?1)?2an?1?1?2?2(n?1)?1??1?4n?5， ?1,当n?1? 故an??2n?1,当n为偶数． （5分） ?4n?5,当n为大于1的奇数??1?s,当n?1?（3）由（2）知bn??2n?1?s,当n为偶数．
?4n?5?s,当n为大于1的奇数?1 又00bn0bn?2?0?bn?1bn?bn?1bn?2?bn?1(bn?bn?2)?0． bn?1bn?1bn?1 （ⅰ）当n=1时，即b2(b1?b3)?(3?s)(?6)?0，于是3?s?0?s??3
（ⅱ）当n为偶数时，
即?4(n?1)?5?s????(2n?1?s)??2(n?2)?1?s?????4n?1?s?(?4)?0
于是4n?1?s?0，s???4n?2?max??6． （3分） （ⅲ）当n为大于1的奇数时，
即?2(n?1)?1?s?????4n?5?s???4(n?2)?5?s?????2n?1?s????8??0
于是2n?1?s?0，s?(?2n?1)max??7． （5分） 综上所述：s??3． （7分） 】
62. 【2012年浦东新区一模理第22题】设满足条件P:an?an?2?2an?1(n?N)的数列组
成的集合为A，而满足条件Q:an?an?2?2an?1(n?N)的数列组成的集合为B. （1）判断数列{an}:an?1?2n和数列{bn}:bn?1?2是否为集合A或B中的元素？ （2）已知数列an?(n?k)，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数3n**k的取值范围；若不是，请说明理由. （3）已知an?31(?1)?log2n(i?Z,n?N)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式
i*|2n?an|?60的n的值组成的集合.
an?an?2??1?2n???1?2(n?2)???4n?2，2an?1?2?1?2(n?1)???4n?2 【解：（1）∴an?an?2?2an?1
∴{an}为集合A中的元素，即{an}?A.???????????????2分
bn?bn?2??1?2n???1?2n?2??2?5?2n，2bn?1?2?1?2n?1??2?4?2n
∴bn?bn?2?2bn?1 ∴{bn}为集合B中的元素，即{bn}?B.???????????????4分
（2）an?an?2?2an?1?(n?k)?(n?2?k)?2(n?1?k)?6(n?1?k)，
* 当k?2时，an?an?2?2an?1对n?N恒成立，此时，{an}?A；????7分
333 当k?2时，令n?1，n?1?k?0，an?an?2?2an?1；
设?k?为不超过k的最大整数，令n??k??1，n?1?k?0，
an?an?2?2an?1，此时，{an}?A，{an}?B.??????????10分
（3）|2n?an|?|2n?31log2n|?60，令cn?2n?31log2n，
n?1?0，即n?21.8； n当n?22时，cn?1?cn，于是c22?c23?c24??， cn?1?cn?2?31log2当n?21时，cn?1?cn，于是c1?c2?c3??c21?c22；??????13分
∵|c4|?|?54|?60，|c5|?|?61.9|?60，
|c62|?|?60.6|?60，|c63|?|?59.3|?60，|c140|?58.99?60，|c141|?60.7?60，
c2,c3,c4和c63,c64,?,c140项，共82项.????????16分】 ∴有c1，
63. 【2012年普陀区一模文理第22题】已知数列?an?是首项为2的等比数列，且满足
an?1?pan?2n(n?N?)
（1） 求常数p的值和数列?an?的通项公式； （2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、．．．．．．．第3n?2项，．．．．．．，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列?bn?，试写出数列?bn?的通项公式； （3） （文）在（2）的条件下，试求数列?bn?的前n项和Tn的表达式． （理）在（2）的条件下，设数列?bn?的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由。 【Tn?111?？Tn3】