山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
f?x, ⑵. 当?1?x?1时，
?1?y??????01?x2?x，y??D
?x，y??Ddy?21?x2
fX?x???????f?x，y?dy??1?x2?1??所以，随机变量X的边缘密度函数为
?2?1?x2fX?x?????0?同理，随机变量Y的边缘密度函数为
?1?x?1其它 ；
?2?1?y2fY?y?????0? ⑶. 由对称性，得 E?X?? E?Y?????1?y?1其它 ．
?????xfX?x?dx???2121x1?xy1?y2?12dx?0
dy?0
???yfY?y?dy???????????1? E?XY????xyf?x,y?dxdy?1?x2?y2?1??xydxdy?0
⑷ 由于cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??0，所以，随机变量X与
Y不相关．但是，
f?x,y??fX?x?fY?y? x2?y2?1
??所以，随机变量X与Y不相互独立． 七、解：E?X??1??2?2?2??1????3??1???2
??2?4??4?2?3?1?2???2??3?2?
所以，??矩估计量为
1?3?E?X??．将E?X?替换成样本均值X，得参数?的2 25
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
???八．解：似然函数为 L????1?3?X?． 2??1?i?f?x????c?x??ii?1i?1nn??ncn??x1x2?xn?????1?
所以，lnL????nln??n?lnc????1??lnxi?1ni．
ndn所以，lnL?????nlnc??lnxi．
d??i?1ndnlnL????0，即?nlnc??lnxi?0， 令：d??i?1得到似然函数的唯一驻点??n?lnxi?1n．
i?lncn．
??所以参数?的最大似然估计量为??lnXi?1ni?lnc九、解：置信区间为[20.01?即：[19.912,20.108]
0.150.15?1.96, 20.01??1.96] 3326
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06-07-1《概率论与数理统计》试题A参考答案
一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4.
?2(n)；5.
19 27二、1、 (C)；2、 (D)；3．?B?；4、?A?；5、?D?
三、解：设A表示事件“甲命中目标”，B表示事件“乙命中目标”，则A?B表示“目标被命中”，且
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
?P(A)?P(B)?P(A)P(B) ?0.5?0.4?0.5?0.4?0.7
所求概率为P(B/A?B)?P[B(A?B)]
P(A?B)?P(B)0.4??0.57
P(A?B)0.7??四、解：（1）由???f(x)dx?1，即
??Aexx???ex?e?xdx?A????1?(ex)2dx?A?arctane????????2A?1
所以A?2?.
x1ln3ln31dx2e??21???02dx （2）P?0?X?ln3????02x?x2?e?e1?(ex)2????x2??arctane21ln3x20x?2????1???? ??34?6（3）分布函数F(x)????f(t)dt??????dt2x?arctane t?t?e?e五、解：FY(y)?P{Y?y}?P?2X?1?y?
y?1y?1??2?P?X?fX(x)dx ?????2??当
y?1?0即y?1时，FY(y)?0； 2y?11y?1当0? ?1即1?y?3时，FY(y)??026x(1?x)dx?(y?1)2(4?y)；
421y?1当?1即y?3时，FY(y)??06x(1?x)dx?1；
2 27
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
即
0,y?1??1FY(y)??(y?1)2(4?y),1?y?3
?41,y?3??3?(y?1)(3?y),1?y?3所以fY(y)??4
?0,其他?六、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且
31?1?P?X?0,Y?3?????，
8?2?P?X?1,Y?1??C133?1??1??????，
8?2??2??1??1?3?????， ?2??2?8322P?X?2,Y?1??C231?1?P?X?3,Y?3?????.
8?2?于是，（1）（X，Y）的联合分布为
Y 3 1 X 0 1 2 3 0 1 80 0 3 83 80 1 81. 8??（2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??????七、解：（1）由1???????f(x,y)dxdy??0?0??Ae?(x?2y)dxdy
?A?0e?xdx?0e?2ydy?28
????1A 2山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
所以A?2.
（
2
????）X的边缘密度函数：
fX(x)???e?x x?0. f(x,y)dy??0,其他?Y的边缘密度函数：fY(y)???????2e?2y y?0. f(x,y)dx??其他?0,（3）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的. 八、解：E(X)?令EX?X，即
??????xf(x)dx????1x??x??1dx????1
??1???X，得参数?的矩估计量为?X X?1似然函数为L(?)??i?1n??n,xi?1(i?1,2,?,n)?n??1??f(xi,?)????x?
i???i?1??0,其他?n当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(?)?0，
lnL(?)?nln??(??1)?lnxi
i?1ndlnL(?)n???lnxi?0 d??i?1得参数?的极大似然估计值为
???n?lnxii?1n
九、解：由于正态总体N置信区间为
??,?2?中期望?与方差?2都未知，所以所求
??SS??． ????X?tn?1,X?tn?1????n2n2???由??0.05，n?16，得?0.025．查表，得t0.025?15??2.1315．
2 由
样
本
观
测
值
，
得
116x??xi?503.7516i?1，
29