山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
当0?y?4时，
FY?y??P?Y?y??PX2?y?P?y?X?y
??y?y????fX?x?dx??y011dx?22y
?1, 0?y?4??所以 fY?y??FY?y???4y。
?0, 其他?法二：由于随机变量X服从?0,2?上的均匀分布，则
?1?, x??0,2?。 fX?x???2?其他?0, 由于y?x2,x??0,2?为单调增加函数，
其反函数为x?y,y??0,4?，且x?y?12y，
所以 fY?y??fX???1, 0?y?4?y?x?y??4y。
?0, 其他?4．解：（1）当x?0时，f?x,y??0，则fX?x?? 当x?0时，fX?x?????????f?x,y?dy?0；
?????f?x,y?dy??e?ydy?e?x。
x?e?x, x?0所以 fX?x???。
?0, x?0当y?0时，f?x,y??0，则fY?y??当y?0时，fY?y?????f?x,y?dx?0，
??y???y?y??fx,ydx?edx?ye。 ????0y?ye?y, y?04 所以 fY?y???。
y?0?0, CAB
（2）P?x?2,y?4???ABC?ye??dxdy
O x2 35
山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
44 ? 4’
．
解
（
1
?2dx?e?ydy?e?2?3e?4
x）
pX?1??P?X?1??111??442，
pX?2??P?X?2??111?? 44211,P?X?2??； 22111111 pY?1??P?Y?1????，pY?2??P?Y?2????
44244211 所以Y的边缘概率函数为P?Y?1??,P?Y?2??。
22111 （2）由于?p?x1,y1??p?1,1??pX?1??pY?1???;
422 所以X的边缘概率函数为P?X?1??
p?1,2??pX?1??pY?2?;p?2,1??pX?2??pY?1?;p?2,2??pX?2??pY?2?
所以X和Y相互独立。
?1?,0?x?2?5．解 （1）由于Z~U?0,2??，则fZ?z???2?
?其他?0,EX??coszfZ?z?d??????12??2?0coszdz?0；
同样，由于cos???a?也是以2?为周期的函数，由周期函数的性质，其在任何一个周期上的积分相等，所以
?z?a?fZ?z?dz?EY??cos????12?12??2?0?z?a?dz?cos12??2??a?a?z?a?dz?0cos。
EX2??cos2zfZ?z?dz??????2?0cos2z?11dz?， 22同理EY2?1。 236
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DX?EX2??EX??211，DY?。 2212?（2）
E?XY???coszcos?z?a?fZ?z?dz??????2?011cos?2z?a??cosa?dz?cosa???22所以?XY?EXY?EXEYDXDY?cosa。
X与Y可以线性相关。
当
?XY?cosa?1时，X与Y线性相关。
即当a?0、?时，?XY?1、?1。
Y?cosz、?cosz，即Y是X的线性函数，此时X和Y线性相关。
6．解 设x1,x2,?,xn是相应于样本X1,X2,?,Xn的样本观测值，则似然函数为
?n?????1x0?xi?1?i?1,2,?,n? ??i, L?????i?1?0,其他?n?n???1??x?0?xi?1?i?1,2,?,n? i, ???i?1?0，其他? 于是当0?xi?1?i?1,2,?,n?时， lnL????nln???1????lnxi?1ni
ndlnL???n 令???lnxi?0
d???1i?1???1?解得未知参数?的极大似然估计值为：?n?lnxi?1n
i???1?从而解得未知参数?的极大似然估计量为：?n?lnXi?1n
i7．解 因?未知，取统计量
T?
X??S16~t(15)
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山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
由1???0.95，知??0.05，查表t0.05(15)?2.13.
2得?的置信度为0.95的置信区间为
??ss?x?t?,x?t?? ??162162??即铅的比重的置信度为0.95的置信区间为（2.69，2.72）.
8．解 检验假设H0:??1000，H1:??1000. 取统计量
u?查表得临界值
X?100010025~N(0,1)
u??u0.05?1.645
计算统计量的观测值得
u?
x?1000950?1000???2.5??1.645??u?2010025所以拒绝原假设H0，即认为这批元件不合格。
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06-07-2《概率论与数理统计》试题B参考答案
一、1．（C）；2．(D)；3．(A)；4．(C)；5．（B）。 二、1．1?(1?p)n；2．三、
1．解：方法一：不考虑球的顺序。
2从9个球中任取两球，取法总数为n??C9。
1?；3．9；4．
1；5．a?0.4,b?0.1。 2（1）设A表示“两球均为白球：，则nA?C24，
P?A??2C42C9?1； 611（2）设B表示“两球中，一白一黑”，则nB?C4C5，则
P?B??12C4C52C9?5； 95。 6（3）设C表示“至少有一球是黑球”，显然，C?A，则
P?C??1?P?A??方法二：考虑抽取的顺序，即无放回地抽取。则基本事件总数为
n??P92，
有利于事件A的基本事件数为nA?P24，
P?A??P42P92?1； 6112有利于事件B的基本事件数为nB?C4C5P2，
P?B??12C4C5P22P92?55；P?C??1?P?A??。 962．解：设A表示“顾客买下该箱杯子”；Bi表示“取出的一箱含i只次品”，
i?0,1,2。
则P(B0)?0.8，P(B1)?0.1，P(B2)?0.1；
4C194C204C184C20P(AB0)?1，P(AB1)??0.8，P(AB1)??12。 19 39