高中数学概念教学中的“再创造”教学应用研究 - 图文(3)

创立了建构主义教学论，主张提高教学内容的学术水平和抽象理论水平，让学生学习和掌握学科的基木结构，阐明建构主义教学论的实质是：学习就是建立一种认知结构。建构主义对概念学习的积极意义在于：（１）数学概念并非主体对于客观实在的简单的、被动的反映（镜面式反映），而是一个丰动的建构过程，这也就是说，所有的数学概念都是建构出来的：（２）在建构的过程中主体己有的认知结构发挥了特别重要的作用后者并处于不断的发展之中。‘２１２．２弗赖登塔尔的“再创造刀教学理论２．２．１“再创造＂教学理论的产生‘３１基于数学学科产生发展的自身特点以及让学生主动学习的建构主义学习理念，荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔于２０世纪７０年代提出了“再创造’’的教学理念。就是要求课程设计者和教师，不是将数学当作一个现成的体系来教，而应当在教学中充分注意，让学生通过再创造的过程来学习数学。它意在改变以往学校数学教育以教师教为主，以教师传授知识体系为主的做法，提倡教学应以学生的学为主，让学生像数学家那样通过创造数学来学习数学。“再创造’’应贯串于数学教育的全过程，应将数学教育作为一个活动来加以分析。在这整个过程中，学生应该始终积极参与这个活动，感觉到创造的需要，才有可能进行“再创造”．一个人在数学上能达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后天条件。但是，一个为多数人都能达到的层次必然存在。教师的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径：就是为学生提供广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现设置任何预先的“圈套＂。弗赖登塔尔所提出的“再创造”数学教育可以用三个词加以概括——现实、数学化、再创造。（１）数学教育中的现实【２】张莫宙，李仕铸。李俊，‘数学教育学导论》．高等教育出版社【ｌ咽，２００３【３】弗赖登塔尔．陈昌平，唐瑞芬等译．‘作为教学任务的数学》，上海教育出版杜［Ｍ］。１９９９．第二章基础理论与研究综述弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实＂。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律。己有的生活经验和数学的实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。把数学概念生活化，让学生易懂易学。通过设计与生活现实密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习数学的动力。这也就是弗赖登塔尔常常说的数学教育既是现实的数学教育。（２）数学化弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。＋一般来讲，数学化的对象有两类：一是数学本身；二是现实客观事物．对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者是数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。数学化是一个过程，是从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程。通过一个充满探索的过程去学习数学，让已经存在于学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，从而达到素质教育的目的。为了使概念更精确、严谨、形式更简洁，以及确定其所适用的范围，通过数学化得到一个新的数学概念之后，还需要对已经得到的概念、模型、技巧作进一步的调整和把握，即解释和说明得出的结果；讨论新模型或方法的使用范围；回顾、总结和分析已经完成的数学化过程，以达到对概念的进一步理解。（３）再创造学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程，这是目前数学教育的一个重要观点。随着新课程的不断推进。“做数学”的理念越来越为人们所接受。“做数学’’主张把注意力从传统的集中于数学内容方面转移到数学过程方面，是强调数学知识在人脑中形成过程和发展过程的教学。是把数学教学视为数学活动的教学。“做数学”强调把学习的主动权交给学生，让学生自己建构知识体系。“做数学＂并非过去的题海战术，“做数学”可以做习题，可以做与课堂学习有关的数学活动，可以像数学家一样研究数学。“做数学＂可以将新课程的要求落到实处，它应该成为数学课堂教学的主旋律。在做数学的过程中，学生发现问题，在内力的驱动下开展探究活动。教师充分发扬民主，放手让学生自主地进行研究。在这个充满体验和自主探索的过程中，６第＿二章基础理论与研究综述学生逐步学会数学的思想方法和用数学方法去解决问题。获得自我成功的体验，增进学好数学的信心，最终学会数学。它强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。当然，这不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作”，也不是简单的“教师指导下的学生活动”，而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织的学习方式。需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学＋数学例子’’式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。本文将“再创造”教学模式和数学概念教学法结合在一起，旨在研究在概念教学中，如何应用“再创造”教学理论帮助学生深入理解和掌握数学概念，并能够熟练地应用这些概念解决一些与此概念相关的题目，从而为数学教学打下坚实的基础。．２．２．２“再创造＂教学理论的阐述【４１弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”，这和我们常说的“发现法＂等相似。弗氏认为：数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。事实证明，只有通过这样的方式才能获得最好的效果。谁都知道数学是最古老的科学，早在上古时代，人们就从日常生活中，获得了数与形的概念，进而又积累了有关的知识，并进一步凝聚成为各种规则、定律，就是这些日常的知识，逐步提高发展而形成了数学。因而我们应该注意到，数学与其他科学有着不同的特点，它是最容易创造的一种科学，３十２＝５，矩形的面积等于长乘宽，类似这些简单而又直观的数学事实，都可以让学生通过自己的学习过程来得到。也就是说，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种定律。历史上很多数学原理是在世界各个地方独立地发现的，微积分是牛顿与莱布尼兹分别从力学与几何学的角度创造出来的；非欧几何学（罗巴切夫斯基几何学）是高斯、波里埃与罗巴切夫斯基各自分别建立起来的；数学发展的历史进程是如此，个人学习数学的进程也同样如此，每个人都应该在学习数学的过程中，根据１４】周美玲，再创造”的教学原理与数学教学．福建中学数学［Ｊ］，２００３，０５７第二章基础理论与研究综述自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。当然这并非要我们再去机械地重夏历史，但是新的一代也不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去，也就是说，从某种意义上我们还是应当重复数学创造的历史，假定我们的祖先在掌握了现有的知识后会怎么做——可能发生的历史。传统的数学教育出现了一种不正常的现象，弗赖登塔尔称之为“违反教学法的颠倒”。数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反，因而严重阻塞了“再创造”的通道。数学确实是一门演绎科学，它的一个特征是严谨的逻辑推理和高度的抽象化。数学教育的目标之一也应该让学生掌握一个不同水平的形式体系，问题是通过怎样的方式才能达到这一目标？传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论，教师从定义出发；介绍它的符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解，学生的任务则是模仿，唯一留给学生活动的机会就是解题——所谓“应用”。实际上，真正的数学家从来也不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭藉数学的直觉思维，作出各种猜想，然后再加以证实（直到今天，还有许多猜想等待人们去检验或推翻）。那些符号、定义都是思维活动的结果，为了知识系统化或是交流的需要而引进。如果给学生提供同样的条件，不仅是性质、规则，甚至定义也都可以包括在学生能够重新创造的范围以内。日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究，在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形”的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念，也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多。当然，每个人有不同的“数学现实＂，每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解第二章基础理论与研究综述法，甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠，要让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，甚至可以自己编造问题，自己寻找解法，一句话，应该让学生走自己的道路。自然从教师的角度，应该在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的创造活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高。即使是对于那些难度比较高的内容，通过“再创造”的方式来进行教学也要比教师“硬灌”来得好。以高等数学中的Ｐｃａｎｏ公理系为例，它的历史发展过程是：先以一些特殊情况下直观应用的数学归纳法为基础，到Ｐａｓｃａｌ研究二项式系数时，初步形式化为数学归纳法原理，经过ＪａｍｅｓＢｅｒｎｏｕｌｌｉ与Ｋａｓｔｎｅｒ的工作，用比较抽象的形式加以阐述，最后才嵌入Ｐｃａｎｏ公理系。如果按照严密的演绎过程，以Ｐｅａｎｏ公理系为出发点，将数学归纳法原理作为一个定理来推导，然后再将它用于二项式定理等具体例子。如果象传统的教科书这种阐述方法，学生将很难真正地理解与掌握有关的知识，这是违反教学法原则的。如果采取“再创造”的方式，在某种程度上应参照历史进程，先给学生大量的数学归纳法例子（例如二项式定理及组合论中很多结果），让学生具体应用这个原理，先对它有个直观的感受，然后再将它用于更复杂的情况：以得到进一步的理解与认识。通过这一过程，学生才能真正掌握数学归纳法原理的实质，在此基础上，辅以教师的指导，才会将其抽象化成为形式体系，这标志着思维水平的提高。至于从数学归纳法原理再进到Ｐｃａｎｏ公理系，那就必须使学生经历过公理化的实践，才有可能实现这个更大的飞跃。伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示”。他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作，弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为：“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗氏认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：（１）通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。（２）发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。９