高中数学概念教学中的“再创造”教学应用研究 - 图文(5)

第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想。确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构。弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的。其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行。学生的“实际”知识有多少？学生的“数学水平”有多高？学生的“日常生活常识”有多广？这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离（ｓ）与时间（ｔ）的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数。再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关。弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力。（２）．“数学化’’原则弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究说是学习公理系统；还不组说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系。还不如说是学习“形式化”这是颇有见地的。他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念，这也是数学化。’要把握这一原则，首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念性的数学化”，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高；与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形式的加工，再将它用来解决现实世界的问题；通过现实世界的调节作用，而使数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于组织更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。现实世界的数学化就是这样，通过两者交融在一起，不断地相互反馈信息，促使数学现实世界与数学化继续不断地发展与提高，这就是数学科学不断发展的动力，而这也同样应该成为数学教育发展的动力。其次，反思是数学化过程中的一种重要活动，它是数学活动的核心和动力。数学的不少发现来自于直觉，而分析直觉理解的原因是通向数学化的道路必须让学生学会反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教育——以反思为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质。（３）．“严谨性＂原则弗赖登塔尔指出，数学与其他的思维训练相比而言，有个最大的优点，就是“确定性”，对每个命题你可以判断它的对或错，其他科学就不是如此，常常依赖于有关的现实情况，涉及到所适用的范围，所选定的标准，只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，由此可以确定结果是否正确，或是结果能否找到，这就是所谓数学的严谨性，是数学的度量标准，也是数学教学必须遵循的原则。严谨性有不同的级别，每个题材有适合于它的严谨性级别，数学家应该根据不同的严谨性级别进行操作，而学生也应通过这些不同级另的学习，来理解并获得自己的严谨性，在学生尚未理解之时，是无法将所谓严密的数学理论强加给学生的，学生只有通过再创造来学习数学的严谨性。有人主张必须使学生知道，数学和现实世界之间有清晰和严格的区别，以此来保证贯彻数学教学的“严谨性”原则。弗赖登塔尔认为，这种做法是不正确的，１６第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究因为数学严谨性的实质，是将数学放入现实世界的防水舱内，使数学理论与现实世界分离，但是我们的数学教学还必须使学生了解，绝对的防水舱是不存在的，实际上我们必须不断改进它的防水性能，不是将现成的数学强加给学生，而是通过学生自己的活动，将数学“再创造”出来，这才能保证真正的严谨性，并且使之不断地得到发展。实际上：“严谨性”要求的规定，应该根据学生的特定的“数学现实”，又应该在“再创造”的过程中，来理解并获得这种“严谨性”，这样才能保证我们的数学教育过程会在“数学化”的正确轨道上前进。总之，数学教学原则并非孤立、分散，各自为政，它们之间有着密切联系，在具体的执行过程中，也应该从整体的、联系的观点着眼，才能使之发挥更大的作用，取得数学教学的成功。【８Ｊ３．２．２联系实际的实施原则结合我国的中学教育现实和学生具备的认知能力，笔者在此基础上总结出以下所需遵循的原则：（１）．学生的主体性原则弗赖登塔尔指出每个人都应按照自己的特点重新创造数学知识。每个人有不同的“数学现实＂思维水平也各不相同，加上不同学生所处的家庭环境，社会环境也有差异，对事物的认识，思考问题的方式以及价值观都是因人而异的，因此可以追求并达到的水平也不相同，每个学生应充分享有“再创造’’的自由。教师则应通过适当的启发，引导学生加强反思，使学生的创造活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识有目的的创造活动。（２）．最近发展区的原则【９ｌ最近发展区理论是由前苏联教育家维果茨基提出来的。维果茨基的研究表明：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平；一种是已经达到的发展水平；另一种是儿童可能达到的发展水平，表现为“儿童还不能独立地完成任务，但在成人的帮助下，在集体活动中，通过模仿，却能够完成这些任务＂。这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”，把握“最近发展区＂，能加速学生的发展。在数学概念“再创造”过程中，如果对学生的数学现实要求和思维能力过低，问题就失去了它本身引起学生主动思考的功能，使学生觉得毫无挑战性，没有钻研的迫切心情；如果对学生的数学现实要求和思维能力过高，学生想出各种办法也解决不了，形成一种挫败的心理，影响了学数学的兴趣。ＩＳ］丁兰，新课程理念下如何“做数学”数理化研究【Ｊ】，２００９，０２［９１王铮，“再创造“教学法在数学教学中的研究，硕士论文，苏州大学．２００９１７第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究所以我们应以学生现有的发展水平为基础，了解并掌握学生的心理特征和思维规律，引导学生制定恰当的学习目标＂，使学生感到成功的喜悦，他们就有兴趣、有动力、有能力去奋力跳跃，从而既解决了问题，也增长了才干，使不同的’学生在数学上得到不同的发展。３．３高中数学概念“再创造”教学法的实施策略根据弗赖登塔尔的观点，既然强调数学是一种人类活动，数学概念教学也是一种人类活动。因此，“再创造”原理实施的目标，也就必须是让学生“参与到一种活动中去＂。换句话说，学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，本节将以此为依据整理“再创造＂教学法的实施策略。３．３．１注重情境设计引入，激发学生“再创造＂动机动机是唤醒和推动创造行为的原动力。数学创造的动机分为外部动机和内部动机。外部动机源自生产实际、日常生活中的问题对数学家的挑战，而内部动机来自数学活动中人们对数学理论和数学美的追求。借鉴数学创造有两类不同的动机的思想，在数学教学中，我们可从数学的实际应用价值和数学自身魅力两方面激发学生进行数学“再创造”的动机。从这种意义上说，创设情境具有情感上的吸引力，容易使学生产生学习兴趣，形成寻求问题答案的动力。数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。客观事物通过人的感官形成感觉、知觉，经过比较、分析、综合、抽象、概括，进而形成概念。所以在进行概念教学时，要尽可能地展现概念的形成过程。３．３．２着眼“数学现实＂，在“再创造＂中探究新知弗赖登塔尔认为，每个人都有自己的一套“数学现实＂。这里所说的“现实’’不限于具体的事物，作为属于现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分。“再创造”教学只有根据学生实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，才能收到实效。这就要求教师必须对本班或者本年级的学生的认知水平，思维能力以及能够达到的数学层次有个较为全面的了解，不能将“再创造＂活动进行得过于简单或是困难，“再创造’’必须能最大限度地发挥学生的主动性和积极性并最终取得一定的成效。这就是前面提到的必须遵循儿童的“最近发展区＂原则。３．３．３在“合情推理”中“再创造’’，帮助学生形成概念数学中的创造都是从猜想开始的。在数学“再创造”过程中，猜想有着同样第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究重要的作用。波利亚认为：只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。合情推理又称似真推理，是一种合乎情理、结论好像为真的推理。因此，合情推理是学习数学与创造数学必不可少的思维形式，表现为思维形式的直觉性、猜测性、思维过程的跳跃性、非常规性和不可解释性。在概念教学中要允许学生的“异想天开”，善于捕捉闪烁学生灵性的智慧火花，鼓励学生的合情推理，有意识地训练学生的直觉思维，从而帮助学生形成概念，猜测公式、定理等。高中生本身拥有许多思维的灵感和奇特的想法，作为教师，我们应该让他们这些难得的思想能有展现的舞台，鼓励他们从生活中去发现问题，并进行大胆的猜想。当他们得到错误结论时，我们切不可一棒子打死，而应帮助他们找到问题所在，并寻求重新解决问题的方法，提倡并且支持他们为自己的“合情推理＂去不懈探索，找出切实的依据。３．３．４在“数学化’’过程中“再创造＂，顺水推舟深化概念弗赖登塔尔认为，与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习“数学化＂。数学化就是人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织的过程。在数学概念教学中，就是要让学生运用自己的数学知识为具体问题建立新的数学模型，使学生学会数学化，从而达到深化概念、巩固概念与运用概念的教学绩效。经过小学初中的系统的数学学习，高中学生已有自己的“数学化”思维，具备了一定的数学素养，教师就应该充分挖掘学生内在的数学能力，指引他们应用正确的数学思维，数学方法去解决新的数学问题。３．３．５灵活应用与拓展概念，实现从“再创造”到创造的飞跃由于概念除了本质属性外，还有许多非本质属性，所以深层掌握概念实质上就是指能辨别同类事物的本质属性与非本质属性，使学生能从较难的实例中分析出概念的性质，明确概念的内涵与外延，通过概念的本质性教学，帮助学生建构起良好的知识结构，形成系统，实现从再创造”到创造的飞跃。这对学生来说难度比较大，要完成“外延＂的认识和构建，必须建立在对概念深度的理解基础上，教师可以用大量的与概念有关联的实物或例子让学生充分理解概念并发现概念的内涵与外延。总之，数学概念“再创造”的教学策略，具有很强的教育功能，能够培养学生的创造意识和创造能力，其中动机是前提和基础，猜想是关键，数学化是重点，应用是目的和归宿。实施“再创造”的目的，乃是用今天的“再创造”促成明天真正的创造。我们相信，随着新课程标准的实施，体现时代教育思想的“再创造＂１９