高中数学概念教学中的“再创造”教学应用研究 - 图文(6)

第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究数学教学原理必将在数学概念教学乃至数学课堂教学中得到切实的贯彻和实施，也必将推动数学课程改革的进一步深入。３．４高中数学概念“再创造’’教学法案例案例１定积分的概念——求曲边梯形的面积传统教学过程：１．教师直接抛出问题一如何求曲边梯形面积。‘２．教师讲授求法过程：分割一以直代曲一作和一逼近３．下结论：这个过程就定积分的思想，从而给出定积分的定义定积分对于高中生来说完全是个陌生的概念，它所采取的无限分割求和的思想是学生从没有涉及过的，所以直接灌输给学生显得非常生疏与困难，学生也很难体会为什么要用这种方法，研究定积分究竟有何意义？所以，笔者在开设这节公开课时，就尝试用“荐创造”法让学生充分体会为什么要研究定积分以及亲自去思考如何去求曲边梯形的面积。“再创造一教学过程：情境设置：Ｎ－已知某物体做变速直线运动，设ｔｓ时的运动速度为ｖ（ｔ）（单位：ｍ／ｓ），ｖ（ｔ）的图像如图（１）中曲线所示，试求口≤ｆ≤ｂ内物体运动的总路程。生：这是匀加速直线运动，所以物体运动的路程即图中直角梯形的面积。师：（投影第二张图）那么这张图呢？生：仍然是图形的面积。师：怎么求？生：先求各线段下方梯形的面积，加起来即整个面积。Ｎ－（投影第三张图）那么这张图昵？生：仍然是图形的面积。师：为什么？如果是，怎么求这个阴影部分的面积呢？带着这两个问题，进入我们今天的研究。（数学现实原则）师：我们可以发现速度曲线不是直线也不是折线，由直线ｘ＝口，石＝ｂ（ａ≠６），Ｙ＝Ｏ和曲线Ｙ＝ｆ（ｘ）围成的图形类似一个梯形，我们称之为曲边梯形。同学们认为这个曲边梯形的面积就是所求的路程，为什么？如果是，面积又该怎么求呢？带着这两个问题，进入我们今天研究的主题：求曲边梯形的面积（板书课题）。图（１）为研究方便，我们先假设Ｙ＝厂（ｘ）为非负函数。教学过程：（数学化原则）我们先研究一个特殊情形，如何求由抛物线Ｙ＝Ｘ２与直线ｘ＝０，ｘ＝ｌ，Ｙ＝０所围成的图形（曲边三角形）的面积。（强调：让学生充分讨论，发挥主体性原则）师：计算曲边三角形的面积Ｓ，能否看作三角形的面积去求？生：不能，因为面积多出的太多了。（面积大多了）计算：．叉＋．‰形＝互１２１。师：那怎么办呢？、４１＿ｔ＿三１?（丢＋１）?三１＝吾篡％蚕嚣蠹擞募未暴；徽荔燃ｊ盖墨磊学生活动：把曲边ＡＯＡＢ分成两ｒ＇，ｌ辄ｉ－ｉ１．．锌／．ｉ．，１田１４一个Ｉ＝＝角／Ｊ。Ｉ形Ｖ＇和Ｉ＇＂一个Ｉ橇Ｙｌ＂Ｉ形Ｖ代ｌＮ替Ｈ．ｖ笪７Ｆ得实验，得出正确结论：若要计算精确，可以将曲边三角形分割成越多的小曲边梯形。这就是我们求法的第一个步骤——分割。ｊ／～ＪＯ＿彳Ｖ日门７１ｘ、图（２）学生接着讨论如何求小曲边梯形的面积。有人发现，如果分割的越多，曲边梯形足够的小，那可以用“直边”来代替“曲边＂（即在很小的范围内以直代曲）。师：用怎样的“直边’’来代替曲边梯形中的“曲边”？学生活动：可以用梯形，矩形，三角形代替。见图（２）右边四个方案。并觉得用矩形代替计算更简便。他们把这个步骤称为——以直代曲。接着，有学生疑问：“那么什么是矩形的长和宽呢？’’不久有同学想到：将蒜蒜雒群犁耸等置邕扩嘲０’ｕ粉成ｎ个小区间：【ｏ，二】，Ｆ，二】，Ｆ，二】，．．?，【二二，二】，…，【三一二，１】。２１第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究而长可以用每个小曲边梯形左端点的函数值／（旦）：（型）２表示。则下面就可以进行第三个步骤——求和。学生活动：设第ｆ个小矩形面积为觚，则２－．Ｉ卜ｉ＋了Ｊ¨炙－－－ａ３Ｓ，＋ａ耕＆…＋蝇＝百一ｉ－刀１）?Ａｘ２喜（争２≯１扣“＋２２…∽１）２】但学生发现如此求和得到的仅仅是近似的面积，而不是精确值，，如何得到比较精确地结果，当然是分割的越细越好，这时教师可以帮助他们提炼这一步骤一—逼近。当ｎ趋向于佃时，三趋向于ｏ，去趋近于０，故上述结果无限趋近于喜。正当同学为得出正确答案高兴的时候，班长冷静地提出：“我们仅仅用了第一个方案进行的计算，如果用其他方案计算的结果是不是一样？”这个问题又引起大家的激烈讨论，最后我们分成三组，各选一种方案进行计算，在这里，我们将第二种计算过程示意如下：ａｓ，＝／（二）?Ａｘ＝一）２．二，鼠＝蝇＋丝＋．．．＋鸲＝；｜；鹋＝喜（争２?ｉ１＝专（１２＋２２＋３２＋．．?＋一所以最７１ｉ１砌＋１）ｍ＋１）＝扣吾＋吉）当ｎ趋向于佃时，上述结果无限趋近于昙。师：仍是昙，为什么？说明什ｊｊ么？生：当分割无限变细时，它们都无限逼近同一个值，即所求曲边三角形的面积ｓ：三。３师：从这两种方法，同学们能不能得到用其他的小矩形来代替曲边梯形的面积？学生活动：（因为分得很细，所以可以以【旦，与上任意一点薯所对应的函数值厂（五）作为小矩形的一边长，得到的应该都廷同！个值）。并ＲｆｆＪ，Ｊ、梯形代替得到结果仍一样。学生通过“再创造”活动，深刻地体会到利用以上步骤求和具有实际意义，以及对求和过程有了深入的理解，为下节课归纳总结定积分的概念打下坚实基础。案例２：偶函数的定义：传统教学过程：第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究在我们的日常生活中，可以观察到许多对称的现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体……函数中Ｙ＝ｘ２的图像也具有对称性，关于Ｙ轴对称。何用数量关系来刻画这种对称性呢？通过／（－２）＝厂（２），ｆ（－１）＝厂（１），／（一妄）＝／∈）猜想对定义域内任意一个Ｘ总有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）这样称／（ｘ）为偶函数。在这个概念的传统教学法中，也有“再创造”的教学思想，但是贯彻得不彻底，虽然由／（＿２）＝／（２），ｆ（－１）＝／（１），／（一去）＝厂（去）等可以发现偶函数的概念，但是这些式子的“再发现”过程也是至关重要的。下面的方法，可以让学生觉得偶函数的发现过程不会觉得很忽然，而是自然而然的过程。“再创造”教学过程：情景设置：在大家的生活中，学过的知识中有哪些是轴对称图形？学生思考，回答：蝴蝶，建筑物及其在水中的倒影等，都具有轴对称性。数学中也有很多图形，如抛物线Ｙ＝ｘ２，Ｙ＝ｌ卅函数图像等也具有轴对称性，并且图形关于Ｙ轴对称，对于这类函数，是否具有一些特殊的特点呢？我们能不能用类似于增函数定义的符号语言精确刻画这种共同性质？学生活动：学生画好Ｙ＝ｘ２的图像，很明显，图像关于Ｙ轴对称，将纸沿着Ｙ轴折叠，大家能发现图像两部分刚好重合。如何用数学式子来表述这种重合的关系呢？学生通过增函数定义，发现需将图形的对称性转化为点的对称性。（最近发展区原则）学生发言：图像是由点构成的，图形重合即意味着所有点全部重合。只需取出任意一对，说明他们重合，然后由这对点的任意性，即可说明所有点全部重合。还有学生演示，用笔在折叠后两层的纸上任意位置戳一个洞，把纸展开，这两个点是重合的，也就是是关于Ｙ轴对称的，将纸铺平，分别过两点作ｘ、Ｙ轴的垂线，设Ｙ轴右边点的坐标为（ｘ，Ｊ，），则右边点的坐标是（一ｘ，Ｙ）。（大家为这个妙想鼓掌叫好）即横坐标互为相反数，纵坐标相同。学生总结：关于Ｙ轴对称的函数上，对于定义域内任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝厂（ｘ）。教师：我们就把具有这种性质的函数称为偶函数。给出偶函数定义——函数Ｙ＝ｆ（ｘ）定义域为Ａ，对于任意Ｘ∈Ａ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆＣｘ），则称ｆ（ｘ）为偶函数。学生又兴致勃勃地总结图像关于原点对称的函数性质，归纳出奇函数的定义。案例３直线与平面垂直的判定：本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分．直线与平面垂第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线。定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。教学过程不再赘述，现给出两个片段说明“再创造”法的实施：（数学现实，主体性原则）教学片断一：在折纸试验的过程中，教师提出问题１：折痕ＡＤ与桌面一定垂直吗？生：不一定．（学生手拿纸片，折出不与桌面垂直的折痕）师：为什么你认为这条折痕不与桌面垂直？生：因为它与ＢＤ不垂直，与ＣＤ也不垂直。师：这能说明它与桌面不垂直吗？生：能，因为定义说如果折痕与桌面垂直，那么它就和桌面的任意一条直线都垂直。师：非常好，其实这也是从另一个角度对定义进行理解：如果想说一条直线与平面不垂直，只要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了。通过这个片断的教学，使学生加深了对定义的认识和理解。教学片断二：仍然是在折纸试验过程中，教师提出问题２：如何翻折才能使折痕ＡＤ与桌面所在的平面口垂直？生ｌ：当折痕４Ｄ是ＢＣ边上的高时，ＡＤ所在直线与桌面所在平面口垂直。师：如何保证此时折痕和桌面是垂直的？生ｌ：因为折痕ＡＤ与肋、ｃＤ所成的角都是直角。师：那折痕ＡＤ与肋、ＣＤ两条直线垂直，就能说它与平面口垂直吗？生１：因为ＢＤ、ＣＤ是两条相交直线，所以它们确定一个平面。师：两条平行直线也确定一个平面，能说如果一条直线与两条平行直线都垂直，那么就和平面垂直吗？生２：以彳Ｄ边为轴将三角形纸片绕轴旋转，刚才已经说明了折痕ＡＤ与ＢＤ、ＣＤ两条直线垂直，旋转的过程中ＡＤ与ＢＤ、ＡＤ与ＣＤ的垂直关系没有发生改变，从而保证ＡＤ与桌面上过Ｄ点的直线都垂直，其他不过Ｄ点的直线可以平行移到Ｄ点说明与ＡＤ垂直，满足直线与平面垂直的定义。以上的教学过程中，看似通过老师的不断追问，实际是还原了学生发现并解决问题的思考过程，学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高了几