第8题 对称图形为载体，特殊位置要留意
【例题】（2013四川资阳，24，12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线、（3，0）、（0，4）. y?ax2?bx?c(a?0)，与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3∶4的两部分，求出该直线的解析式.
【变式一】（2011江苏无锡，27，10分）如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．动点P从O点出发，以
每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．
（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；
（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为
菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．
第9题 平行线内“正方形”，构造全等“弦方图”
【例题】（2012山东滨州，25,12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交
l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF ≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
【变式一】（2013山东淄博，24，9分）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．
（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；
（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．
【变式二】（2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上.这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1?0，h2?0，h3?0）. （1）求证：h1?h3；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S?(h1?h2)2?h12； （3）若
3h1?h2?1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1变化的情况. 2
第10题 “并列”问题“递进”解，经典问题再追问
【例题】（2012山东德州，23，12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【变式】（2013辽宁锦州，25，12分）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形 的两边BC、DC于点E、F，连结EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝BAD，连结EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．
1∠2
第11题 “伴随图形”来研究，“分类讨论”显功底
【例题】（2011辽宁本溪，26，14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE岁点Q运动）． （1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式； （3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．
【变式】（2013湖南郴州，25，10分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tan A=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系； （3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
第12题 中心对称“带上路”，以美启真构菱形
【例题】（2013陕西，25，12分）
问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b?a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.