【变式一】（2012陕西，25，12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
【变式二】（2011湖北武汉，24，10分）
（1）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC边长，AQ交DE于点P．求证：
DPPE=； BQQC
（2）如图2，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证：MN2?DM?EN．
第13题 “定义”悟出基本图，解后反思“圆外圆”
【例题】（2013北京，25，8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义： 若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点． 已知点D?，?，E（0，-2），F（23，0）． （1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范．
?11??22?【变式一】（2013福建泉州，25，12分）如图，直线y??3x?23分别与x、y轴交于点B、C，点A(-2，0)，P是直线BC上的动点． （1）求∠ABC的大小；
（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；
（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO = 30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点 P的个数有几个？若改变，指出点 P的个数情况，并简要说明理由． ．．．．
【变式二】（2012江苏南京，27，10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角． （1）已知∠APB是?O上关于点A、B的滑动角． ① 若AB为⊙O的直径，则∠APB= ； ② 若⊙O半径为1，AB=2，求∠APB的度数．
（2）已知O2为?O1外一点，以O2为圆心作一个圆与?O1相交于A、B两点，∠APB为?O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交?O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
第14题 “旋转变换”迷人眼，“见微知著”深追问
【例题】（2012浙江义乌，23，10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【变式一】（2011安徽，22，12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针
旋转，旋转角为?(0°＜?＜180°)，得到△A1B1C．
A A1 A A1 A E B
C
A1
? C D B
C ? ? P B
B1 图1
图2
B1
B1 图3
（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； 【证】
（2）如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； 【证】
（3）如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．