图1-8.1
思路：这里可以把桥看作是一个角的顶点，河岸和公路分别是角的两边，问题转化为：在角平分线上找一点，使它到顶点的距离是300米。 方案：（1）画出角的平分线，以顶点为圆心；（2）1.5cm为半径画圆，定义圆与角平分线的交点即为所求。
用几何画板验证：
第一步：新建一个几何画板文件。
第二步：选“画射线”工具，画一个角，如图1-8.2。 ABC图1-8.2
第三步：（1）用“选择”工具依次选取点B、A、C；（2）由菜单“作图”?“角平分线”，画出了∠BAC的平分线，如图1-8.3。
CA B图1-8.3
第四步：用“画点工具”在角平分线上画一个点，标出标签。得到如图1-8.4。
A BCD图1-8.4
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第五步：（1）用“选择”工具同时选取点D和射线AB；A（2）由“作图”?“垂线”，画出过点D垂直于射线AB的直线；（3）用“选择”工具单击垂足处，定义表示垂足的点，并用“文本”工具标上标签；（4）选取画好的垂线，把它隐藏，并用“画线段”工具画出垂线段DE，用同样的方法画出垂线段DF，得到如图1-8.5
第六步：（1）选取点D和射线AD，（2）由“编辑”?“操作类按钮”?“动画”，在弹出的对话框中设置点D在射线AD上双向慢速运动。得到如图1-8.6。
第七步：度量出∠AED、∠AFD，线段DE、DF，最后的结果如图1-8.7。
操作验证：双击“动画”按钮或用鼠标拖动点D移动，可以发现DE、DF总是分别垂直于角的两边，并且DE=DF，这说明了我们要找的点可以定位于角平分线上。
第八步：在工作区中画一条线段GH，量出距离，通过调整G、H的位置，使GH=1.5cm。如图1-8.8 说明：取GH=1.5cm是因为比例尺是1：20000。
第九步：（1）同时选取点A和线段GH（不要选点G和H）；（2）由“作图”?“以圆心和半径画圆”，得到一个以点A为圆心，半径是1.5cm的圆；（3）用“选择”工具单击圆与角平分线的相交处，定义出的交点I即为所求。如图1-8.9
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FEBCD图1-8.5 A动画FEBCD图1-8.6
AED 9=0. 00?A动画AFD =90. 00?DF =1. 27 cmFEDE =1. 27 cmBCD图1-8.7
GH 1.= 50 cmGHAED 9=0. 00?A动画AFD =90. 00?DF =1. 27 cmFEDE =1. 27 cmBCD
图1-8.8
GH 1.= 50 cmGHAED 9=0. 00?A动画AFD =90. 00?DF =1. 43 cmEDE =1. 43 cmFIBCD
如图1-8.9
第十步：（1）选取圆把它隐藏；（2）度量AI；（3）选取点I和射线AB，由“度量”?“距离”，可以量出点I到射线的距离，同理量出点到角的另一边的距离，如图1-8.10 由图可知，点I为所求的点。 说明：本例是为了帮助学习角平分线的有关作图，复习角平分线的性质，所以设计了较多的步骤，如果只是为了解决问题本身，可以在画好角平分线后转入第八步，可以快速确定出点I。
AI = 1.50 cmGH = 1.50 cmGAED = 90.00?AFD = 90.00?DF = 1.43 cmFDE = 1.43 cmCDA距离(IA到B) = 0.98 cmH距离(IA到C) = 0.98 cm动画EIB图1-8.10
如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八供参考。 练习：
1、如图1-8.11是两个互为邻补角的角，分别画出它们的角平分线，验证所画角平分线的关系。
C
AOB
图1-8.11
如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习1供参考。 2、验证平行线的性质 第一步：（1）画一条直线；（2）在直线外画一点。如C图1-8.12。
AB图1-8.12
第二步：（1）选取点C和直线AB；（2）由“作图”?“平行线”，得如图1-8.13
C
AB图1-8.13
第三步：画第三条直线和这两条平行线相交，最后完成如图1-8.14
CED
A
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FB 图1-8.14
请自己度量同位角、内错角，同旁内角，计算同旁内角的和，拖动点改变图形，验证平行线的性质。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习2供参考。
案例九 古建筑的窗格
在古建筑中，常可以看到这样的窗格，如图1-9.1，这其中有什么数学知识呢？
图1-9.1
思路：外圈是一个矩形，相当于连结矩形四边的中点，得到一个四边形，再连结它的四边的中点。 方案：（1）先画一个平行四边形，顺次连结四边中点，再顺次连结所得四边形四边中点，度量三个四边形的四边和一个内角，此步可以用来说明“顺次连结平行四边形四边中点得到什么样的图形”；
（2）通过拖动点的位置，使最大的四边形的一个内角的度数为900，这时可以观察里面的两个四边形，此步可以说明：“顺次连结矩形四边中点得到什么样的图形”、“顺次连结菱形四边中点得到什么样的图形”；
（3）继续拖动点的位置，保持最大四边形的内角是900的前提下，使它的邻边相等，这时最大的四边形是正方形，此步可以说明：“顺次连结正方形四边中点得到什么样的图形”。 用几何画板验证：
第一步：画一个平行四边形， CD（1） 先画好线段AB、BC；
（2） 分别过点C作线段AB的平行线，过点A作线
段BC的平行线；
（3） 用“选择”工具定义得交点D，如图1-9.2。 BA 图1-9.2
第二步：（1）隐藏直线AD、DC；（2）连结线段AD、DCDC，得如图1-9.3。
注意：隐藏直线时不要误选点A、D、C，这三点不能隐藏。
AB
图1-9.3
第三步：（1）选取平行四边形的四边，由“作图”?“中点”，画出四边中点，用线段顺次连结；
（2）再选取所连四条线段，同样定义中点，顺次连结，如图1-9.4。
DKHLAE
GJFIBC图1-9.4
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第四步：（1）同时选点A、B，由“度量”?“距离”，量出AB的长，用同样的方法量出每个四边形的四条边；
（2）按住Shift，依次选点D、A、B，量出∠DAB，同样量∠HEF、∠KLI；得如图1-9.5。
DKHLAEGJFIBCLI = 1.23 cmIJ = 1.02 cm1.02 cmKJ = 1.23 cmLK = KLI = 64.91?AB = 2.46 cmBC = 2.04 cmHE = 1.22 cmEF = 1.90 cmDC = 2.46 cmAD = 2.04 cmGF = 1.22 cmHG = 1.90 cmDAB = 64.91?HEF = 101.76?图1-9.5
归纳结论：
（1） 拖动点C改变平行四边形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD总是平行四边形，四边形EFGH
是_______________,四边形I JKL是____________，说明顺次连结平行四边形的四边中点，所得的图形是________________.
（2） 拖动点C，使∠DAB=900，这时ABCD是______形，四边形EFGH是_______，四边形IJKL是
________。说明顺次连结矩形四边中点得_______，顺次连结菱形四边中点得______.
（3） 拖动点C，保持∠DAB=900，同时使AB=AD，这时ABCD是______形，四边形EFGH是_______，
四边形I JKL是________。说明顺次连结正方形四边中点得_______。
如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例九供参考。 练习： 1、（1）画一个四边形，顺次连结四边中点，如图1-9.6，看得到的GFEH什么样的图形，请度量GFEH的边长来说明；
（2）拖动点A成图1-9.7位置，GFEH还是平行四边形吗？ （3）拖动点A成图1-9.8位置，GFEH还是平行四边形吗？
以上操作说明：四条线段首尾相接(不一定是凸四边形)，顺次连结各线段中点所得的图形是_______
DGAFBHCEHDGAFCAGHCDEFE图1-9.6
B图1-9.8
如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习1供参考。
2、更深入的探究：顺次连结什么样的四边形的四边中点可以得到矩形、菱形、正方形？ （1）连结得正方形。
第一步：画一条线段，AB，在AB上画一点C，如图AC1-9.9
图1-9.9
第二步：用“选择”工具双击点C，标记点C为中心，
下面将要进行的旋转是绕点C进行的， 技巧：标记一点为中心的另两种方法是
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图1-9.7
B
B