考点29 圆锥曲线的综合问题
两年高考真题演练
xy2
1．(20152新课标全国Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，2)
ab2在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
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2．(20152山东)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，ab21??且点?3，?在椭圆C上．
2??
(1)求椭圆C的方程；
xy
(2)设椭圆E：2＋2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E
4a4b于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
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|OQ|(ⅰ)求的值；
|OP|
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．
xy
3．(20142重庆)如图，设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在
ab|F1F2|2
椭圆上，DF1⊥F1F2，＝22，△DF1F2的面积为.
|DF1|2
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
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考点29 圆锥曲线的综合问题
一年模拟试题精练
xy
1．(20152昆明一中检测)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，过F
ab的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|＋|FA′|＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．
2．(20152巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
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xy2
3．(20152云南省名校统考)如图，已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且
ab2b
过点(2，2)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC2kBD＝－2.
a
→→
(1)求OA2OB的取值范围；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．
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4．(20152锦州市期末)如图，已知点F为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，圆A：
ab(x＋t)＋y＝2(t＞0)与椭圆C的一个公共点为B(1，0)，且直线FB与圆A相切于点B.
(1)求t的值及椭圆C的标准方程；
→→→
(2)设动点P(x0，y0)满足OP＝OM＋3ON，其中M，N是椭圆C上的点，O为原点，直线OM122
与ON的斜率之积为－，求证：x0＋2y0为定值．
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参考答案 第八章 解析几何 考点25 直线与圆
【两年高考真题演练】
1．D [圆的半径r＝1＋1＝2，∴圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝2.]
2．D [圆方程可化为(x－1)＋(y－1)＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的|331＋431－b|
圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.] 223＋4
3．B [由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为 x＝1，①
由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为 y－
33?1?＝?x－?，② 23?2?
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?2?联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为?1， 3?，
?3?
其到原点的距离为
21?2?1＋? 3?＝.故选B.] 3?3?
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4．2 [如图，
过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°， ∴∠DBO＝30°，
|330－430＋5|
又|OD|＝＝1，
5∴r＝2|OD|＝2.]
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5. [由题意，圆心为O(0，0)，半径为1. 2
如图所示， ∵P(1，3)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝3.
∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝3，则OP＝2， ∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
3→→→→
∴PA2PB＝|PA||PB|2cos∠APB＝3333cos 60°＝.]
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6．(x－1)＋y＝2 [直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）＋（0＋1）＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)＋y＝2.]
7．(1)(x－1)＋(y－2)＝2 (2)－2－1 [(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的
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?|AB|?＋12＝2，解得r＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
半径)，则r＝???2?
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(2) 法一 令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(2＋1)＝x－0，即y＝x＋(2＋1)．
令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.
法二 令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，设过点B的切线方程为y－(2＋1)＝kx，即kx－y＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C(1，2)到直线kx－y＋|k－2＋2＋1|
(2＋1)＝0的距离d＝＝r＝2，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(2＋1)2
k＋1