＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.]
8．解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点，所以4－74＋7解得 |2k－3＋1| <1. 21＋k ?4－74＋7? ，?. 3??3 2 2 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)＋(y－3)＝1，整理得 (1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0. 4（1＋k）7 所以x1＋x2＝，x1x2＝22. 1＋k1＋k→→ OM2ON＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 4k（1＋k） ＝＋8. 2 1＋k 4k（1＋k） 由题设可得＋8＝12， 2 1＋k解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在l上，所以|MN|＝2. 9．解 (1)圆C的方程可化为x＋(y－4)＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. →→ 设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． →→ 由题设知CM2MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)＋(y－3)＝2.由于点P在圆C的内部， 所以M的轨迹方程是(x－1)＋(y－3)＝2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为1 ON的斜率为3，所以l的斜率为－， 3 18 故l的方程为y＝－x＋. 33 410410 又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为，|PM|＝， 55 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 所以△POM的面积为. 5【一年模拟试题精练】 1．B [l1和l2的交点坐标为? ?k，2k－1?， ??k－1k－1? 1k2k－1 ∵0＜k＜，∴＜0，＞0， 2k－1k－1故l1和l2交点在第二象限．] 2．A [直线ax－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直的充要条件是4a＋a－332 ＝0，解得a＝－1或a＝，所以“a＝－1”是“直线ax－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9 4＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.] 3 3．B [∵l2：x＋3y－＝0，∴l1∥l2， 2 3|m＋|21＋3 2 2 2 2 故l1和l2的距离为＝10， 17 ∵m＞0，∴m＝.] 2 tan θ＋tan 45° 4．A [M(2，0)，旋转前，k＝2＝tan θ；旋转后k＝tan(θ＋45°)＝ 1－tan θtan 45°＝－3， 故旋转后的直线方程为y－0＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.] k－1k－1 5．B [y－1＝k(x－1)，横截距为，纵截距为1－k，由题意得k＜0，＋1－k kk ?1?＝2＋?－?＋(－k)≥2＋2?k??－1?2（－k）＝4，当且仅当－1＝－k，即k＝－1取等号，故?k?k?? 该直线的方程为x＋y－2＝0.] y1＋y2x1＋x2 6．B [＝－10， 22 x1＋x2222 令t＝，故P(t，t－10)，|OP|＝t＋（t－10）＝2（t－5）＋50≥52.] 27．D [ 建立如图坐标系，设A(a，0)，B(0，b)， ?ab??ab?则D?，?，P?，?， ?22??44? 9212129222 |PA|＝a＋b，|PB|＝a＋b， 1616161612122 |PC|＝a＋b， 1616|PA|＋|PB| 故＝10.] 2 |PC| 8．C [该直线可整理为a(x＋1)＋(－x－y＋1)＝0，故定点C为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝5，即x＋y＋2x－4y＝0.] 9．A [将y＝－4－2x代入(x＋1)＋(y－2)＝4整理得：5x＋26x＋33＝0，x1＋x2＝－2612 ，y1＋y2＝－4－2x1－4－2x2＝，弦长＝255 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?|－2＋2＋4|?245 2－??＝5，满足条件面积最2 2＋1?? 2 26123722 小的圆为以两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x＋y＋x－y＋＝0.] 555 10. B [由图可知，当m＝3x＋y过(－2，0)时，m取最小值，最小值为－23；当m＝3x＋y与该半圆相切时，m取最大值， ＝2，m＝4，故m∈[－23，4]．] （3）＋1 2 |m| 1?2－（－3）?11.?－∞，－?∪[5，＋∞) [由题意得：l的斜率k≥kPA＝＝5或k≤kPB2?－1－（－2）?＝ 0－21＝－.] 3－（－1）2 12．x＋y－5＝0或2x－3y＝0 [AB的中点为M(3，2)， 2 当l的截距为0时，可设y＝kx，得k＝， 3 xy 当l的截距不为0时，可设l的方程为＋＝1得a＝5. aa故l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.] 13．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 [AB的中点为(3，－1)，满足条件的直线为过AB y－2x－1 的中点或与AB平行．当过AB的中点(3，－1)时，＝，即3x＋2y－7＝0；当 2－（－1）1－3该直线与AB平行时，该直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.] ?xy＋1?，由题意k＝y－1(x≠0)， 14．解 (1)设P(x，y)，记PN的中点为M，则M?，1 2?x?2? y＋1?y＋1?（y－1）??2 211x?2?2 k2＝(x≠0)，由k1k2＝－2可得＝－2(x≠0)，化简整理可得：2＋y＝1(x xmxmm x2 22x2 ≠0)，即曲线C的方程为2＋y＝1(x≠0)． m (2)由题意N(0，1)， 若存在以曲线C的弦AB为直径的圆过点N，则有NA⊥NB， 所以直线NA、NB的斜率都存在且不为零，设直线NA的斜率为k(不妨设k＞0)，∴直线y＝kx＋1，??21 NA：y＝kx＋1，直线NB：y＝－x＋1，由?x消去y整理可得 2 k＋y＝1，2 ??m 2mk (1＋mk)x＋2mkx＝0，解得xA＝－22， 1＋mk 22 2 2 2 2 |2mk|1 所以|NA|＝1＋k22，以－代替k可得 1＋mkk 2 2 |NB|＝2m 1＋21＋k22， 2＝kmk＋m1＋2 k 2 ?2m???1?k? 2 2 又∵|AB|＝2|NB|， 即有|NA|＝|AB|－|NB|＝|NB|， |2mk|22m ∴1＋k1＋k22， 22＝1＋mkk＋m 22 2 22∴k＋mk＝1＋mk，即(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝0， ①当m＝3时，(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝(k－1)＝0，解得k＝1； ②当1＜m＜3时，方程k＋(1－m)k＋1＝0，有Δ＝(1－m)－4＜0， ∴方程(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝(k－1)＝0有唯一解k＝1； ③当m＞3时，方程k＋(1－m)k＋1＝0有Δ＝(1－m)－4＞0，且1＋(1－m)31＋1≠0， 所以方程(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝(k－1)＝0有三个不等的根，综上，当1＜m≤3 时，恰有一个圆符合题意．考点26 椭 圆 2 2 3 2 2 22 2 2 2 2 3 2 2 22 2 2 3 322222 【两年高考真题演练】 1．B [由题意知25－m＝16，解得m＝9，又m>0，所以m＝3.] 2．A [ 2 2 左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形． ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4， ∴a＝2. 设M(0，b)， 4b4则≥， 55∴1≤b＜2. c 离心率e＝＝a 2c2＝a 2 a－b ＝ 2 a 22 4－b?3? ∈?0，?，故选A.] 42?? 2?x0＋c，y0?， [设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标??kFQ 2?2?2c（2c－a） x0＝，2 a 2 0 22 2 3. ybx＋c??2＝c22，y ＝，依题意? x－cyb ??x－c2c＝－1， 0 0 00 00 2 2 2 2 4 ?? 解得?2bc y＝??a，c（2c－a）4c 又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋4＝1，令e6 aa c262 ＝，则4e＋e＝1，∴离心率e＝.] a2 c2 4．(1)解 由题设知＝，b＝1， a2结合a＝b＋c，解得a＝2， x2 所以椭圆的方程为＋y＝1. 2 x2 (2)证明 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y＝1，得(1＋ 22k)x－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0， 2 2 2 2 2 2 2