由已知Δ＞0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 4k（k－1）2k（k－2）
则x1＋x2＝，x1x2＝， 22
1＋2k1＋2k从而直线AP，AQ的斜率之和
y1＋1y2＋1kx1＋2－kkx2＋2－k
kAP＋kAQ＝＋＝＋
x1x2x1x2x1＋x2?11?＝2k＋(2－k)?＋?＝2k＋(2－k)
x1x2?x1x2?4k（k－1）
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
2k（k－2）5．解 (1)根据c＝a－b及题设知 b2
?b?a32
M?c，?，＝，2b＝3ac. ?a?2c4
c1c12222
将b＝a－c代入2b＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为. a2a2
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线b2
段MF1的中点，故＝4，即b＝4a.①
a
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
22
2
2
???2（－c－x1）＝c，?x1＝－c.2 ?即?
?－2y1＝2，??
?y1＝－1.
9c1
代入C的方程，得2＋2＝1.②
4ab
9（a－4a）1
将①及c＝a－b代入②得＋＝1. 24a4a
2
2
2
2
3
解得a＝7，b＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7. 【一年模拟试题精练】
c22522
1．D [y＝8x的焦点坐标为(2，0)，由题意得：a－1＝2，得a＝5，e＝＝＝.] a552．A [由|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2a＝4c，得a＝2c， 43
2＋22＝1，得a＝22，b＝6， aa－c
xy
因此，椭圆的标准方程为＋＝1.]
86
2
2
2
2b222
3．A [将y＝1－x代入ax＋by＝1，整理得(a＋b)x－2bx＋b－1＝0，x1＋x2＝，
a＋ba
2a?b，a?，a＋b＝a＝3.]
y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝，因此AB的中点??a＋bbb2?a＋ba＋b?
a＋b
4．B [由|PF1|＋|PF2|＝2a和|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c得，|PF1||PF2|＝2a－2c≤2
?|PF1|＋|PF2|?＝a2，即a2≤2c2，e2≥1，得e∈?2?.] ???，1?22???2?
2c－a2c－a
5．A [由题意得|PQ|＝|F1F2|＝2c，得P的横坐标为，－a＜＜a，即－ac
cc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?1?222
＜2c－a＜ac，－e＜2e－1＜e，得e∈?，1?.]
?2?
5
6. [|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，因此 3
1
|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|，2πr＝π，r＝，S△ABF2
2115＝(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)r＝|F1F2||y1－y2|，得|y1－y2|＝.] 223
7．3 [设F2为椭圆右焦点，|AF|＋|AF2|＝2a＝4，|BF|＋|BF2|＝2a＝4，故|AF|＋|BF|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8≥|AF|＋|BF|＋|AB|，故当△FAB的周长最大时，x＝m过椭圆右焦点1
F2，则|AB|＝3，故S△FAB＝|F2F|2|AB|＝3.]
2
8．解 (1)记椭圆C的半焦距为c.
c3222
由题意，得b＝1，＝，c＝a＋b，解得a＝2，b＝1.
a2
x222
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y＝1，圆C1的方程为x＋y＝5.显然直线l的斜率存
4在．
设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0. 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， y＝kx＋m，??2
故方程组?x(*)有且只有一组解． 2
＋y＝1，??4由(*)得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. 从而Δ＝(8km)－4(1＋4k)(4m－4)＝0. 化简，得m＝1＋4k.①
因为直线l被圆x＋y＝5所截得的弦长为22，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
所以圆心到直线l的距离d＝5－2＝3. 即
|m|
＝3.② 2
k＋1
2
2
由①②，解得k＝2，m＝9. 因为m＞0，所以m＝3.
考点27 双曲线
【两年高考真题演练】
y
1．A [由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故
4
2
2
选A.]
b3b
2．D [由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
aa即3b＝4a，∴9b＝16a，∴9c－9a＝16a， 522
∴25a＝9c，∴e＝.故选D.]
3
xy22
3．D [双曲线2－2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a＋b＝4，①
abb
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
a由题意得
2ba＋b
2
22
22
2
2
2
2
＝3，②
2
2
y
联立①②解得b＝3，a＝1，所求双曲线的方程为x－＝1，选D.]
3
y
4．D [右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x－＝0，将
3
2
2
x＝2代入渐近线方程得y＝12，y＝±23，
∴|AB|＝23－(－23)＝43.选D.] 5．C [
2
22xy?b?双曲线2－2＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求B?c，?，ab?a?
2
b??C?c，－?，则 a??
2
bbaa
kA2C＝，kA1B＝，
c＋aa－c又A1B与A2C垂直，
bbb
2
aaa
则有kA1B2kA2C＝－1，即2＝－1，∴22＝1，
c＋aa－cc－a∴a＝b，即a＝b， b
∴渐近线斜率k＝±＝±1.]
a6．B [e1＝
b
1＋2，e2＝ a
22
2
2
2
4
22
（b＋m）bb＋m1＋(m>0)，得2.不妨令e1 2bb＋mbb＋m bma时，有>，即e1>e2；当b aa＋maa＋m 7.3 [由题意：c＝2，a＝1，由c＝a＋b.得b＝4－1＝3，所以b＝3.] x1x22 8.－y＝1 [由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y＝42442 λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以－(3)＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标 4x2 准方程为－y＝1.] 4 9．解 (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点y?23??23?2122 P?－2＝1.故b1＝3. ，1?在双曲线x－2＝1上，所以??b1?3??3?b1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由椭圆的定义知 2a2＝?23?22 ??＋（1－1）＋?3? 2 2 2 2 2 ?23?22??＋（1＋1）＝23. ?3? 于是a2＝3，b2＝a2－c2＝2，故C1，C2的方程分别为 yyx x－＝1，＋＝1. 332 2 2 (2)不存在符合题设条件的直线． ①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2. 当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)， →→→ 所以|OA＋OB|＝22，|AB|＝23. →→→ 此时，|OA＋OB|≠|AB|. →→→ 当x＝－2时，同理可知，|OA＋OB|≠|AB|. ②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m. y＝kx＋m，??222由?2y2得(3－k)x－2kmx－m－3＝0. x－＝1?3? 当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根， 2kmm＋3从而x1＋x2＝. 2，x1x2＝23－kk－3 3k－3m 于是y1y2＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝2. k－3 2 2 2 2 2 y＝kx＋m，??22 222 由?yx得(2k＋3)x＋4kmx＋2m－6＝0. ＋＝1??32 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16km－8(2k＋3)(m－3)＝0. 化简，得2k＝m－3，因此 m＋33k－3m→→ OA2OB＝x1x2＋y1y2＝2＋2 k－3k－3－k－3 ＝2≠0， k－3 →2→2→→→2→2→→于是OA＋OB＋2OA2OB≠OA＋OB－2OA2OB， →→2→→2→→→即|OA＋OB|≠|OA－OB|，故|OA＋OB|≠|AB|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线． 【一年模拟试题精练】 bb5c－a5c3 1．B [该双曲线的渐近线为y＝±x，故＝，即＝，e＝＝.] aa2a2a23 2．A [该双曲线的渐近线为y＝±x，右焦点坐标为(5，0)，(5，0)到渐近线的距离为 44，故该圆的标准方程为(x－5)＋y＝16，即x＋y－10x＋9＝0.] 3π33 3．D [该双曲线的渐近线为y＝±x，kl＝tan＝＜，故l与双曲线C的交点分别 2632在左、右两支上．] 4．C [双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，因为圆心为(3，0)，半径为3，由|AB|＝2，可知圆心到直线AB的距离为22，于是 3ba＋b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 ＝22，解得b＝8a，于是c＝a＋b 2222