c
＝3a，所以e＝＝3.]
a
c62
5．C [∵e＝＝，故可设a＝2k，c＝6k，则得b＝2k，∴渐近线方程为y＝±a22x.]
??x＋y－4x－9＝0，??x＝0，??x＝0，
??6．A [解方程组得或? ?x＝0，?y＝3?y＝－3.???
2
2
∵圆x＋y－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
22
?18?2
∴A(0，－3)，B(0，3)，∴a＝3，2c＝18，∴b＝??－3＝72，
?2?
2
2
yx
∴双曲线方程为－＝1.]
972
7．B [因为AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且显然AE＝BE，所以△ABE是等腰b??三角形，所以∠AEB＝90°，所以∠AEF＝45°，所以AF＝EF，易知点A?－c，?(不妨设点Aa??b2222
在x轴上方)，故＝a＋c，即b＝a(a＋c)，得c－ac－2a＝0，即e－e－2＝0，解得e＝2，
a或e＝－1(舍去)．]
→b→?bc??b?8．A [不妨设A在第一象限，故A的坐标为?c，?，P的坐标为?c，?，因此FP＝FA
a?c??a?b→→
＝(OA－OB)． 2c
b→→→→→1→→
OP＝OF＋FP＝(OA＋OB)＋(OA－OB)
22c
2
2
2
22
?1b?→?1b?→
＝?＋?OA＋?－?OB ?22c??22c?
3c23?1b??1b?3
∵λ2μ＝，∴?＋??－?＝，得e＝＝.]
16a3?22c??22c?169．(1)解 设双曲线E的半焦距为c，
??c＝35，
5由题意可得?a解得a＝5. ??c2＝a2＋4，
a5
(2)证明 由(1)可知，直线x＝＝，点F2(3，0)．
33
2
?5?设点P?，t?，Q(x0，y0)， ?3?
因为PF→→
22QF2＝0，
所以???3－53，－t???
2(3－x0，－y0)＝0， 所以ty＝4
03
(x0－3)．
因为点Q(x0，y0)在双曲线E上， 2
2
所以x05－y02
424＝1，即y0＝5(x0－5)，
2
所以ky0－ty0y0－ty0
PQ2kOQ＝2＝x5x 0250－3x0－3x0
4（x24
0－5）－（x0－3）＝53
x2
50－3x0
4x240－＝53x0＝4x2
－55，
03
x0
所以PQ与OQ的斜率之积为定值．
(3)证明 P??5?3，1???
，设H(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，令|PM||MH||PN|＝|HN|
＝λ， 则|PM|＝λ|PN|，|MH|＝λ|HN|，
?即?????x51?51－3，y1－??＝λ???x2－3，y2－1???，
??（x－x1，y－y1）＝λ（x2－x，y2－y），
?x5
1－λx2＝3
（1－λ）， 整理，得??
y1
－λy2
＝1－λ， ②??x1＋λx2＝x（1＋λ）， ③y1
＋λy2
＝y（1＋λ）， ④
?由①3③，②3④得??x222521－λx2＝3（1－λ）x， ??y22221－λy2＝（1－λ）y， ⑥将y2422
421＝5(x1－5)，y2＝5
(x2－5)代入⑥，
①
⑤ 4x1－λx2
得y＝32－4. ⑦
51－λ4
将⑤代入⑦，得y＝x－4，
3
所以点H恒在定直线4x－3y－12＝0上．考点28 抛物线
【两年高考真题演练】
pp2
1．B [由于抛物线y＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦
22点坐标为(1，0)，故选B.]
c12xy
2．B [因为e＝＝，y＝8x的焦点为(2，0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋
a21612＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.]
3．D [
2
2
222
?y1＝4x1，?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则?2相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
?y＝4x，2?2
2
当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；
y1＋y2y1－y2
当l的斜率存在时，x1≠x2，则有2＝2，即y02k＝2，
2x1－x2y0－0
由CM⊥AB得k2＝－1，y0k＝5－x0，2＝5－x0，∴x0＝3，
x0－5
即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y＝4x，得y＝12，有－23＜y0＜23， ∵点M在圆上，∴(x0－5)＋y0＝r，r＝y0＋4＜12＋4＝16， 又y0＋4＞4，∴4＜r＜16，∴2＜r＜4，故选D.]
4．解 (1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)． y＝k（x－t），??
由?12消去y，整理得：
y＝x??4
x－4kx＋4kt＝0，
由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，
2
2
2
2
2
2
2
22
2
因此，点A的坐标为(2t，t)．
设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)， 由题意知：点B，O关于直线PD对称，故 2t
yxx＝0002，?1＋t?＝－＋1，
2t 解得 ?22
2t?y0＝?x0t－y0＝0.2.1＋t
2
?????
?2t2，2t2?.
因此，点B的坐标为??
?1＋t1＋t?
(2)由(1)知，|AP|＝t21＋t 和直线PA的方程tx－y－t＝0， 点B到直线PA的距离是d＝设△PAB的面积为S(t)， 1t
所以S(t)＝|AP|2d＝.
22
5．(1)证明 设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
??y＝k1x，?2p12p1?由?2得A1?2，?，
?k1k1??y＝2p1x，??y＝k1x，??2p22p2?由?2得A2?2，?. ?k1k1???y＝2p2x，
3
2
2
2
2
2
t
1＋t
，
同理可得B1?
2p1?1?2p?2p22p2?，B2?2，?. 2，??k2k2??k2k2?
→?2p12p12p12p1?
所以A1B1＝?2－2，－?
?k2k1k2k1?
?1111?＝2p1?2－2，－?， ?k2k1k2k1?
→?2p22p22p22p2?A2B2＝?2－2，－?
?k2k1k2k1?
?1111?＝2p2?2－2，－?. ?k2k1k2k1?
→p1→故A1B1＝A2B2，
p2所以A1B1∥A2B2.
(2)解 由(1)知A1B1∥A2B2， 同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
→?2|AS1?1B1|?因此＝?.
S2?→?
?|A2B2|?
→
→p1→|A1B1|p1
又由(1)中的A1B1＝A2B2知＝.
p2→p2
|A2B2|S1p1故＝2. S2p2
【一年模拟试题精练】
122
1．C [把抛物线y＝2x的方程化成标准形式为x＝y，是焦点在y轴正半轴的抛物线，
21
所以其准线方程为y＝－.] 8
ca＋b
2．C [∵＝＝2，∴a＝b，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，因此可设A的
aa12
坐标为(x0，x0)，则B的坐标为(x0，－x0)，S△AOB＝x022x0＝x0＝4，则x0＝2或x0＝－2(舍)，
2将(2，2)代入y＝2px，p＝1，故抛物线的方程为y＝2x.]
3．A [设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2；d＝2.
当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4＝2d，
当直线AB的斜率存在时，AB的直线方程为y＝k(x－1)，将其代入y＝4x，整理得：kx2k＋44
－(2k＋4)x＋k＝0，x1＋x2＝2＝2＋2＞2，|AB|＞4＝2d，综上，|AB|≥2d.]
kk
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
4．B [∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
pp
∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋
22p
＝3，∴p＝4.] 4
?y＝kx＋2，?2
5．D [由?2得ky－8y＋16＝0，
??y＝8x
若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0， 即64－64k＝0，解得k＝1，
因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.] 6．A [设准线与x轴交于E，由题意，|AF|＝|BF|＝|AB|＝2，△ABF为等边三角形．∴∠FBD＝30°，∴|EF|＝1，即p＝1.]
7．B [设M(x1，y1)．∵|MF|＝4|OF|，
2