pp3p
∴x1＋＝43，∴x1＝，∴|y1|＝3p，
2221p
∴S△MFO＝333p＝43，∴p＝4，
22∴抛物线的方程为y＝8x.]
8．B [根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，即p2
点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y＝2px的准线方程为x＝－，则p＝4，则抛
2物线的焦点为(2，0)；则双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2；点(－2，－1)在双曲线的渐1
近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1，
2
则c＝5，则焦距为2c＝25.]
9．D [因为抛物线的方程为y＝4x，所以焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，
又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，焦点到直线x－y＋4＝0的|1－0＋4|5525252
距离d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，
22222选D.]
10．A [
2
2
p
过B，C两点作准线x＝－的垂线，垂足分别为B1，C1，由抛物线定义得|CF|＝|CC1|，
2x6－x339
|BF|＝|BB1|，设|CF|＝x，则＝，得x＝，故|BC|＝3＋＝.] 36＋3222
11．(x－2)＋(y－22)＝9 [由抛物线定义可得，圆过抛物线焦点(1，0)，又过A(3，0)，故圆心的横坐标为2，又∵b＞0，∴b＝432＝22，r＝（2－1）＋（22）＝3，故圆C的方程为(x－2)＋(y－22)＝9.]
12.17－1 [由题意知，圆x＋(y－4)＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.]
2
2
2
2
2
2
2
2
13．解 (1)由题意知：抛物线方程为y＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my－1，代入y＝4x得y－4my＋4＝0，Δ＝16m－16＞0，得m＞1，
??y1＋y2＝4m，?假设存在T(a，0)满足题意， ?y1y2＝4，?
2
2
2
2
2
y1y22my1y2－（1＋a）（y1－y2）则kAT＋kBT＝＋＝ x1－ax2－a（x1－a）（x2－a）＝
8m－4m（1＋a）
＝0.
（x1－a）（x2－a）
∴8m－4m(1＋a)＝0， ∴a＝1，∴存在T(1，0)．
1115
(2)S△AOB＝|OP||y1－y2|＝|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝，∴|y1－y2|＝5，
2222设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB＝θ. y1y144
kOA＝＝2＝＝tan α，kOB＝＝tan β，
x1y1y1y2
4设θ＝|α－β|， ∴tan θ＝|tan(α－β)| ＝?
?tan α－tan β?
??1＋tan αtan β?
1
2
44－??yy
＝?
16??1＋yy?
12
＝
|y1－y2|π
＝1，∴θ＝.考点29 圆锥曲线的综合问题 54
【两年高考真题演练】
a－b242
1．(1)解 由题意得＝，2＋2＝1，
a2ab解得a＝8，b＝4. xy
所以C的方程为＋＝1.
84
(2)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝xy
kx＋b代入＋＝1得
84
(2k＋1)x＋4kbx＋2b－8＝0.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22x1＋x2－2kbb故xM＝＝2，yM＝k2xM＋b＝2.
22k＋12k＋1yM1
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
xM2k1
即kOM2k＝－. 2
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 31a－b3
2．解 (1)由题意知2＋2＝1.又＝，
a4ba2解得a＝4，b＝1.
x2
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4xy
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
164
|OQ|
(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
|OP|x02
因为＋y0＝1，
4
（－λx0）（－λy0）λ又＋＝1，即
1644|OQ|
所以λ＝2，即＝2.
|OP|(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－16＝0， 由Δ＞0，可得m＜4＋16k，① 8km
则有x1＋x2＝－2，
1＋4k4m－16x1x2＝2. 1＋4k
416k＋4－m
所以|x1－x2|＝. 2
1＋4k
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)， 1216k＋4－m|m|
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝ 2
21＋4k2（16k＋4－m）m
＝＝22
1＋4km设2＝t， 1＋4k
2
222222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?x0＋y2?
?40?＝1， ??
2
?4－m2?m.
?1＋4k?1＋4k2??
22
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程， 可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0， 由Δ≥0，可得m≤1＋4k.② 由①②可知0＜t≤1，
因此S＝2（4－t）t＝2－t＋4t， 故S≤23，
当且仅当t＝1，即m＝1＋4k时取得最大值23. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S， 所以△ABQ面积的最大值为63.
3．解 (1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝a－b. |F1F2||F1F2|2由＝22.得|DF1|＝＝c. |DF1|222
1222
从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c＝，故c＝1.
222从而|DF1|＝
2932222
，由DF1⊥F1F2得|DF2|＝|DF1|＋|F1F2|＝，因此|DF2|＝. 222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22， 故a＝2，b＝a－c＝1.
x2
因此，所求椭圆的标准方程为＋y＝1.
2
2
2
2
2
x2
(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个
2交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.
由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.
→→
由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)．再由F1P1
x1422
⊥F2P2，得－(x1＋1)＋y＝0，由椭圆方程得1－＝(x1＋1)，即3x1＋4x1＝0.解得x1＝－或23
2
2
1
22
x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．
4
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
3y1－y0y1
设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得2＝－1.
x1x1＋115
而求得y1＝|x1＋1|＝，故y0＝. 33圆C的半径|CP1|＝
?－4?＋?1－5?＝42. ?3??33?3????
2
2
22
?5?32
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x＋?y－?＝. 9?3?
【一年模拟试题精练】
1．解 (1)设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|＋|FA′|＝|FA|＋|F′A|＝2a＝4.解得a＝2，
∵左焦点为F(－2，0)，c＝2， ∴b＝a－c＝2.
xy
∴椭圆C的方程为＋＝1.
42
1
(2)设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，△AFA′面积S＝22x12y1＝x1y1.
2x1y1x1y12∵1＝＋≥233＝S，
42222∴S≤2.
x1y11
当△AFA′面积取得最大时，＝＝，解得x1＝2，y1＝1.
422
1
由F(－2，0)，A(2，1)，可得直线AB的方程为：y＝(x＋2)，化为x－22y
22＋2＝0，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?x－22y＋2＝0，
设B(x2，y2)，联立?2
?x＋2y2＝4，
75
?x＝－，
5?x＝2，?1??75
解得?可得B?－，－?. ?5??51?y＝1，
y＝－，??5
2
11
2
∴|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2）＝
2
2
22
18
. 5
xy
2．解 (1)设椭圆的方程是2＋2＝1(a＞b＞0)，
ab