的P点。
3综上所述，其他符合条件的点P坐标是（0，0），（0，? ），（0，－3）。
45.（2010年浙江金华4分）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，
?上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过 以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是EF点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. 若
BG?3，则BK﹦ ▲ . BM
15【答案】或。
33【考点】动点问题，切线的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】分两种情况：
（1）当点P在圆弧左侧时，
∵正方形ABCD中，边长为2，O为AD的中点，∴AO=1，∠ABC=90°。 又∵O为圆心，OE为半径，直线MPG是圆O的切线，
∴OP⊥MPG，即OH⊥MG。∴∠MPH=90°。∴∠BHP+∠BMG=90°。 在Rt△BMG中，∠BGM+∠BMG=90°，， ∴∠BHP=∠BGM。 又∵∠HBK=∠GBM=90°=∠A，， ∴△BHK∽△BGM，△BHK∽△HAO。
BGBMBKBHBGBHBHAH。∴?, ??=3, ?=3。
BHBKAOAHBMBKBKAO1∴BH=1,BK=。
3∴
（2）当点P在圆弧左侧时（如图），
15 同（1）可得：CK=，∴BK=。
3315BG 综上所述，若?3，则BK﹦或。
33BM
6.（2012年浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 ▲ ．
【答案】（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）。 【考点】利用轴对称设计图案。
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标：
如图所示：（﹣1，1），（﹣2，﹣2）分别与其它三点构成等腰梯形；（0，2），（﹣2，﹣3）分别与其
它三点构成铮形。
7.（2012年浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．
【答案】3。
【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
1∠EOF=∠BAC=60°， 233∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=。
22由圆周角定理可知∠EOH=由垂径定理可知EF=2EH=3。
8.（2013年浙江湖州4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ▲ ．
【答案】22。
【考点】单动点问题，一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】首先，需要找出点B运动的路径（或轨迹），其次，才是求出路径长。
由题意可知，OM=23，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M， 则△OMN为等腰直角三角形，∴ ON=2OM?2?23?26。 如图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点
P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn。
又∵AB0=AO?tan30°，ABn=AN?tan30°， ∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°。
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°。 ∴B0Bn=ON?tan30°=26?3?22。 3现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）：
如图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为
Bi，连接AP，ABi，B0Bi。
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi。
又∵AB0=AO?tan30°，ABi=AP?tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP。 ∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP。 又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP。 ∴∠AB0Bi=∠AB0Bn。
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）。 综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为22。
三、解答题
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1.（2004年浙江温州、台州12分）如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不运动至M，C),以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E。
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）请连结OF，OP，求证：OF⊥OP；
（3）延长DC，FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H(如图乙)。是否存在点P使
△EFO∽△EHG（其对应关系是E?E，F?H，O?G）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ，∴∠A=∠B=900。∴AF、BP都是⊙O的切线。 又∵PF是⊙O的切线， ∴EF=FA，PE=PB 。
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6。
（2）证明：连结OE，
∵PF是⊙O的切线，∴OE⊥PF。
在Rt△AOF和Rt△EOF中，∵AO=EO，OF=OF， ∴Rt△AOF∽Rt△EOF。∴∠AOF=∠EOF。 同理∠BOP=∠EOP。
∴∠EOF+∠EOP=
1×180°=90°。 2∴∠EOP=90°，即OF⊥OP 。 （3）存在。
∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF。
∴当∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°时，Rt△EOF∽Rt△EHG。 此时∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°－30°=60°。 ∴BP=OB·tan60°=3。
【考点】正方形的性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得。
（2）连结OE，根据切线的性质和相似三角形的判定和性质，求出∠EOF+∠EOP=
可根据三角形内角和定理得到∠EOP=90°，即OF⊥OP 。
（3）要△EFO∽△EHG，必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出
1×180°=90°，即2