【答案】解：（1）设直线AC的解析式为y=k1x+b1，
∵A（4，8），C（0，5），
3??8?4k1?b1?k1?∴?，解得?4。 ?5?b??b1?5∴直线AC的解析式为： y?（2）设D（m，0），
如图，过点C作DG⊥AB于点G， 则GA=3，CG=4，CO=5。
若四边形CDEF成为矩形，则CD⊥AC。
3x?5。 4ODCO。 ?GACGOD51515 ∴。 ?，即OD?。∴D（，0）
4344 ∴Rt△COD∽Rt△CGA。∴
又∵直线DE：y?kx?b平行于AC，∴直线DE：y?3x?b。 41531545，0）代入，得0???b，即b??。 41644345 ∴k?，b??。
164 将D（
（3）能。假设存在这样的正方形。则C′D=DE， ∴Rt△C′OD∽Rt△DBE（AAS）。∴OC′=BD。 由（2）知
OD3OD3?，∴?。 OC'4BD41216，BD?。 77 又∵OD＋BD=4，∴二者联立，解得OD?
符合题意，四边形C?DEF?为正方形成立。
∴OC′=
16。 722400?12??16? 由勾股定理，得C?D2?OD2? OC?2???????。
49?7??7? ∴此时正方形的面积为
400。 49【考点】动点和平移问题，一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，全等、相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式。
（2）D在OB上移动，设出D点坐标，根据矩形性质CD⊥DE，由相似得比例关系，代入可求出D点坐标，从而求出直线DE。
（3）在第二问的基础上继续延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程组求解即可。 6.（2004年浙江衢州14分）如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－2，0）,C(m，0),其中m>0.以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连结EF。 （！）求证：ΔAFE∽ΔABC 。
（2）是否存在m的值，使得ΔAEF是等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 （3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况。试求点C1（3，0）移动到点C2（33，0）点F移动的行程。
【答案】解：（1）根据题意，由切割线定理，得：AE?AB?AO2?AF?AC，即 又∵∠EAF=∠CAB（公共角），∴ΔAFE∽ΔABC 。
AEAF。 ?ACAB
（2）存在。
∵A（0，3），B（－2，0）,C(m，0)，即OA=3，OB=2，OC= m，BC=2＋m ∴根据勾股定理，得AB?OA2?OB2?13，AC?OA2?OC2?9?m2。
由（1）ΔAFE∽ΔABC，∴若要使ΔAEF是等腰三角形，必须ΔABC是等腰三角形。 ①若要AE=AF，则要AC=AB，即9?m2?13，解得m??2（－2舍去）。 ②若要AE=FE，则要AC=CB，即9?m2?2?m，解得m?5。 4 ③若要AF=FE，则要AB=CB，即13?2?m，解得m?13?2。 综上所述，存在m的值，使得ΔAEF是等腰三角形，m 的值为2，（3）连接OF，则∠CFO=900。
∴∠AFO始终为直角，且OA为定值OA=3。 ∴点F移动的行程在以AO的中点D为圆心，
一半为半径的圆上（如图）。
AO的
5，13?2。 4?。 连接DF1，DF2，则点F移动的行程为FF12 ∵OC1=3 ，∴tan?OAC1?∴∠OAC1=300。
∵OC1=33 ，∴tan?OAC2?3。 ∴∠OAC2=600。 ∴∠C1AC2=300。 ∴∠F1DF2=600。 ∴点F移动的行程为 ：
3。 3?F?F1260???32??。 1802【考点】动点问题，切割线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算，分类思想的应用。
【分析】（1）根据切割线定理，得到相应线段成比例，再加上公共角相等，可得到两三角形相似。?
（2）按边相等的不同情况讨论。
（3）因为CO为直径，则∠OFC=90°，可得到∠AFO=90°，并且OA为定值，即可得到点F移动的
行程为以OA的直径上的一段弧长。
7.（2005年浙江宁波12分）已知抛物线y??x2?2kx?3k2（k>0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以
?上的动点(不与点A、D重合)，直线CGAB 为直径的⊙E交y轴于点D、F(如图)，且DF=4，G是劣弧AD交x轴于点P.
（1）求抛物线的解析式;
（2）当直线 CG是⊙E的切线时，求tan∠PCO的值.
（3）当直线CG是⊙E的割线时，作GM⊥AB，垂足为H，交PF于点M，交⊙E于另一点N，设MN=t，GM=u，求u关于t的函数关系式.
【答案】解：（1）解方程?x2?2kx?3k2?0，得x1=－3k，x2=k。
由题意知OA=|－3k|=3k，OB=|k|=k。
1DF=2。 22∵OA?OB=OD?OF，∴3k2?4，解得： k??33∵直径AB⊥DF，DF=4，∴OD=OF=
（负的舍去）。
43x?4。 38343（2）由（1）可知AO=23，AB=，EG=，
33∴所求的抛物线的解析式为y??x2?
∵抛物线y??x2?连接EG，
∵CG切⊙E于G，∴∠PGE=∠POC=90°。 ∴Rt△PGE∽Rt△POC。
43x?4过C点，∴OC=4。 343PGEGPG3∴ ，即。 ??3?POCOPO43?83?PA?由切割线定理得PG2?PA?PB?PA????， 3??又PO?PA?AO?PA?23，
?83?PA?PA??3???1，整理得：PA2?23PA?6?0。解得PA??3?3。 ∴23PA?23??∵PA＞0，∴PA?3?3 ∴tan?PCO?POPA?AO3?3。 ??OCOC4 （3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，∴GN∥CF。∴△PGH∽△PCO，∴
GHPH。 ?COPOHMPH。 ?OFPOGHHM∴。 ?COOF11∵CO=4，OF=2，∴GH?HN?MN。∴GM=3MN。
2223∴u=3t（0＜t≤ ）。
3同理 ，
【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，垂径定理，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，切割线定理。
【分析】（1）本题抛物线解析式只有一个待定系数k，用k表示A、B两点坐标，用相交弦定理OA?OB=OD?OF，可求k值，确定抛物线解析式。
（2）由（1）可求圆的直径AB，半径EG及OC长，连接GE，由Rt△PGE∽Rt△POC，得出对应边的比相等，及切割线定理结合运用可求PA、PO长，在Rt△POC中，可求tan∠PCO的值。