BP的长。
2.（2004年浙江温州14分）已知抛物线y=－x2+2(m－3)x+m－1与x轴交于B，A两点，其中点B在x 轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，该抛物线与y轴于点C。 （1）写出抛物线的开口方向与点C的坐标(用含m的式子表示)； （2）若tan∠CBA=3，试求抛物线的解析式；
（3）设点P(x，y)（其中0＜x＜3）是（2）中抛物线上的一个动点，试求四边形AOCP的面积的最大值 及此时点P的坐标。
【答案】解：（1）抛物线的开口向下，点C的坐标是(0，m－1) 。
（2）∵点A、B分别在x轴的正、负半轴上，
∴方程－x2+2 (m－3)x+m－1=0的两根异号，即m－1＞0。∴OC=m－1。
11m?1 由tan∠CAB=3得OB=OC= (m－1) ， ∴点B的坐标为(?,0) 。
33312代入解析式得?(m?1)2?(m?1)(m?3)?m?1?0
9312由m－1≠0得 ?(m?1)?(m?3)?1?0， ∴m=4。
93∴抛物线的解析式为y=?x2?2x?3。 （3）当0＜x＜3时，y＞0，
∴四边形AOCP的面积为
1133323S△COP+S△OPA=?3x??3y?(x?x2?2x?3)??(x?)2?。
2222283153?3?∵当x=时，y=????2??3=
242?2?231523∴当点P的坐标为(,)时，四边形AOCP的面积达到最大值。
248【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数定义。
【分析】（1）二次函数的二次项系数是-1＜0，因而抛物线的开口向下．在函数解析式中令x=0解得y的值，就是C的纵坐标。
（2）由方程－x2+2 (m－3)x+m－1=0的两根异号，根据一元二次方程根与系数的关系，得m－1＞0，从而OC=m－1。由tan∠CBA=3转化为OB，OC之间的关系，即可用m表示出B点的坐标，把B点的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到一个关于m的方程，从而解出m的值．得到函数的解析式。
（3）四边形AOCP的面积为S△COP＋S△OPA，这两个三角形的面积就可以用x表示出来，从而把面积表
示成x的函数，转化为函数的最值问题。
3.（2004年浙江宁波12分）已知AB是半圆O的直径，AB=16，P点是AB上的一动点（不与A、B重合），PQ⊥AB，垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相 切，切点分别为M、N、C．
（1）当P点与O点重合时（如图1），求⊙O2的半径r；
（2）当P点在AB上移动时（如图2），设PQ=x，⊙O2的半径r．求r与x的函数关系式，并求出r的取 值范围．
【答案】解：（1）连接OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D，
∵⊙O2与⊙O、⊙O1、PQ相切， ∴OO2=8－r， O1O2=4＋r。 ∵四边形ODO2C是矩形， ∴OD=r，O1D=4－r。
OO22?OD2?O2D2?O1O22?O1D2，根据勾股定理得：
即：?8?r??r2??r?4???4?r?，解得：r=2。 （2）连接AQ，BQ，
∵AB是⊙O直径，PQ⊥AB，∴PQ2=AP?PB。
设⊙O1半径是a，
则x2?2a?16?2a??48a?a2。 连接O1O2、OO2，作O2D⊥AB于D
∴O1O2=a＋r，OO2=8－r，O1D=O1P－PD=a－r，OD=PB－PD-OB=2a－r－8。 根据勾股定理得；O1O22?O1D2?O2D2?OO22?OD2，
即：?a?r???a?r???8?r???2a?r?8?，化简得：8r?8a?a2。
2222222??
∴x2?32r，即r?12x。 32∵P点是AB上的一动点（不与A、B重合），PQ⊥AB， ∴PQ≠0，最大值为⊙O的半径8。∴0＜x≤8 ∴0＜r≤2。
∴r与x的函数关系式为r?12，r的取值范围为0＜r≤2。 x（0＜x≤8）
32【考点】动点问题，切线的性质，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，射影定理（或用相似）。 【分析】（1）由勾股定理得OO22?OD2?O2D2?O1O22?O1D2，可求得r的值。
（2）连接O1O2、OO2，作O2D⊥AB于D，由射影定理（或用相似）和勾股定理可求得r与x的函数
关系式。
4.（2004年浙江金华12分）已知：四边形ABCD为圆内接矩形，过点D作圆的切线DP，交BA的延长线于点P，且PD=15，PA=9。 （1）求AD与AB的长；
（2）如果点E为PD的一个动点（不与运动至P，D），过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形PBCD的周长平分，记△PEF的面积为y，PE的长为x，请求出y关于x的函数关系式；
（3）如果点E为折线DCB上一个动点（不与运动至D，B），过点E作直线EF交PB于点F，试猜想直线EF能否将四边形PBCD的周长和面积同时平分？若能，请求出BF的长；若不能，请说明理由。
【答案】解：（1）如图1连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥PB。
∴∠PAD=∠BAD=90°。
∴△PAD与△ABD都是直角三角形。 ∵PD=15，PA=9，∴AD=12。
∵DP切⊙O于D，∴BD⊥DP。∴∠PDB=90°。 ∵∠P＋∠ADP=∠ADP＋∠ADB=90°，∴∠P=∠ADB。
AD124AB4??，∴tan?ADB??。 AP93AD312?4∴AB=AD?tan∠ADB=?16 。
3∵tan?P?（2）如图2，过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形
PBCD的周长平分，
∵AB=16，AD=12，
∴四边形PBCD的周长为：15+16+12+16+9=68。 ∴PE+PF=34。
4∵PE=x，∴PF=34－x， EN=PE?sin∠P=x。
5∴y?S?PEF?114?3268?EN?PF??x???x???x2?x?0 ①如图3，若点E在DC上，设CE =x，BF =y， ∵PD=15，PA=9，AD=CB=12， DC=16，PB=25， ∴DE=16－x，PF=25－y。 ∴若直线EF能将四边形PBCD的周长和面积同时平分， 则： ??16?x??15??25?y??x?12?y?x?y?22??，即??16?x???25?y??41，无解。 x?yx?y??12??12??2?22?∴若点E在DC上，不存在直线EF将四边形PBCD的周长和面积同时平分。 ②如图4，若点E在CB上，设CE =x， BF =y， ∵PD=15，PA=9，AD=CB=12， DC=16，PB=25， ∴BE=12－x，PF=25－y。 ∴若直线EF能将四边形PBCD的周长和面积同时平分，则： ?x?16?15??25?y???12?x??y?x?y?22?，即。 ?16??25?y??11xy?12y?246?0?12?x?y??y??12?x???222?将x?y?22代入xy?12y?246?0得?y?22?y?12y?246?0，即y2?34y?246?0。 解得，y?17?43。 ∵y?17?43时，x?17?43?22??5?43<0，不合题意，舍去。 ∴BF =y?17?43。 ∴若点E在CB上，存在直线EF将四边形PBCD的周长和面积同时平分，此时， BF?17?43。 【考点】动点问题，圆内接矩形的性质，由实际问题建立函数关系式，解二元方程组，分类思想的应用。 【分析】（1）由四边形是圆内接矩形可知，∠PAD=90°．根据勾股定理便可求出AD的长。因为PD是⊙O的切线，所以根据切线的性质和直径所对的圆周角是90°构造直角三角形，应用三角函数即可求出AD与AB的长。 4（2）因为PE=x，所以根据EN=PE?sin∠P=x，建立起EN和x之间的关系，利用三角形的面积公 5式求出y关于x的函数关系式。 （3）分点E在DC上和点E在CB上两种情况讨论即可。 5.（2004年浙江金华14分）如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y?kx?b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F。 （1）求经过点A，C两点的直线解析式； （2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由； （3）如果将直线AC作向上下平移，交Y轴于点Cˊ，交AB于点Aˊ，连结DCˊ，过点E作EFˊ∥DCˊ，交AˊCˊ于点Fˊ，那么能否使四边形CˊDEFˊ成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由。