（2）求直线l的解析式；
（3）过O,B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q。问：是否存在点P，使得以P,Q,B为顶点的三角形与OBC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c经过点（0，0），（4，0），
∴可设抛物线解析式为y?ax?x?4?。
把B（5，5）代入，得5?a?5?5?4?，解得a=1。 ∴抛物线解析式为y?x?x?4?，即y?x2?4x。
（2）过点B作BD⊥y轴于点D，
∵点B的坐标为（5，5），∴BD=5，OD=5。 ∵tan?OCB?BDCD?59，∴CD=9。∴OC=CD－OD=4。 ∴点C坐标为（0，－4）。 设直线l的解析式为y?kx?4， 把B（5，5）代入，得5=5k－4，解得k?95。 ∴直线l的解析式为y?95x?4。
（3）①当点P在线段OB上（即0＜x＜5时），
∵PQ∥y轴，∴∠BPQ=∠BOC=1350。 当
PBOB?PQOC时，△PBQ∽△OBC， 这时，抛物线y?x2?4x与直线l的交点就是满足题意的点Q，
94则x2?4x?x?4，解得x1=5（舍去），x2=。
5544∴P1（，）。
55PBPQ当时，△PQB∽△OBC， ?OCOB∵PB?2?5?x?，PQ?x?x2?4x?5x?x2，OC=4，OB?52，
??∴
2?5?x?4?5x?x252，整理得2x2?15x?25?0。解得x1=5（舍去），x2=
5。 2∴P2（
55，）。 22②当点P在点O左侧（即x＜0=时），
∵PQ∥y轴，∴∠BPQ=45°，△BPQ中不可能出现135°的角，这时以P，Q，B为顶点的三
角形不可能与△OBC相似。
③当点P在点B右侧（即x＞5）时，
∵∠BPQ=135°，∴符合条件的点Q即在抛物线上，同时又在直线l上；或者既在抛物线上，
同时又在Q2，B所在直线上（Q2为上面求得的P2所对应）。
∵直线l（或直线Q2B）与抛物线的交点均在0＜x≤5内，而直线与抛物线交点不可能多于
两个，
∴x＞5时，以P，Q，B为顶点的三角形也不可能与△OBC相似。 综上所述，符合条件的点P的坐标只有两个：P1（
4455，），P2（，）。 5522【考点】二次函数综合题，动点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，平行的性质，分类思想的应用。
【分析】（1）依题意设抛物线解析式为y?ax?x?4?，把B（5，5）代入求得解析式。
（2）过点B作BD⊥y轴于点D，求出点C的坐标．设直线l的解析式为y=kx－4，把点B的坐标代
入求出k值之后可求出直线l的解析式。
（3）分点P在线段OB上，点P在点O左侧，当点P在点B右侧三种情况讨论即可。
12.（2005年浙江衢州12分）已知，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB，AB=2，BD=1，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P． （1）求sin∠ACB的值；
（2）求MC的长；
（3）若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）在Rt△ABD中，∵AB=2，BD=1，
∴根据勾股定理得：AD?AB2?BD2?5。 ∵∠BAD=∠ACB，∴sin?ACB?sin?BAD?BD5。 ?AD5（2）∵DM⊥AD，∴∠MDC=900－∠MDC=∠BAD=∠MCD。
∴MD=MC。
∵∠BAD=∠ACB，∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA。∴∴AC?25。
设MC=x，则DM=x，AM=AC－MC=25?x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2?AD2?DM2，即25?x解得： x?（3）存在。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC?AC2?AB2?4， ∴DC=3。
∵∠BAD=∠CDP，，∠ABD=∠DCP，∴△ABD∽△DCP。∴∴CP?15BDDA，即?。 ?2ACBAAC????5?22?x2，
3535。∴MC=。 44ABBD23，即?。 ?1CPDCCP3。 23?t。 211313?3?2???4??3?t?6?t， 22222连接AP、AQ、DQ，设CQ=t时，四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积， 则PQ=
∵SADQP?S?ADC?S?ACP?S?DCQ?
11?BA?CQ?BC???2?t??4?4?2t， 2234∴由6?t?4?2t解得t?。
274∴当点Q从点c向点P运动s时，存在四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积。
7 SABCQ?【考点】动点问题，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据AB=2，BD=1，∠B=90°，根据勾股定理得到AD的长，根据∠BAD=∠ACB得到sin∠ACB=sin∠BAD，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义就可以求出sin∠ACB的值．
（2）设MC=x，则DM=x，AM=AC－MC=25?x，在Rt△ADM中，由勾股定理就可以求出CM
的长。
（3）根据SADQP?S?ADC?S?ACP?S?DCQ?SABCQ即可求出t的值。
13.（2006年浙江杭州大纲卷12分）已知，直线y??3x?1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB3为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90o。且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。
（1）求三角形ABC的面积S△ABC；
（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。
【答案】解：（1）在y??3x?1中令x=0，得点B坐标为（0，1）；令y=0，得点A坐标为（3，0）。 3 由勾股定理得|AB|=2。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC=2。
（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
∴S△BOP=
1为常数。 2（3）当点P在第四象限时，
∵S△ABO=
33，S△APO=?a，
223313?53。 ?a??2，解得a?2223∴S△ABP=S△ABO＋S△APO－S△BOP=S△ABC=2，即当点P在第一象限时，同理可得a?3+53。 3【考点】一次函数综合题，动点问题，直线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质， 分类思想的应用，解一元二次方程。
【分析】（1）根据直线的解析式容易求出A，B的坐标，也可以求出OA，OB，AB的长，由于三角形ABC是等腰直角三角形，知道AB就可以求出S△ABC。
（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，所以三角形BOP的面积是一个常数。
（3）△ABC的面积已知，把△ABP的面积用a表示，就可以得到关于a的方程，解方程可以求出a。 14.（2006年浙江温州14分）如图，在ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2,动点P从点A出发沿
AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x
(1)四边形PMCN的形状有可能是菱形吗?请说明理由； (2)当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等?
【答案】解：（1）四边形PMCN不可能是菱形。理由如下：
用反证法：
假设四边形PMCN是菱形，则PM=MC=CN=NP。 ∵AC⊥BC，∴∠ACB=900。
∵在Rt△PCM中，PM为斜边，MC为直角边，∴PM>MC。 ∴PM不可能等于MC。
∴与假设四边形PMCN是菱形相矛盾，所以四边形PMCN不可能是菱形。 （2）设AP=x，
∵PM//AB， PN//AD，AC=BC=2，AC⊥BC，