∴PC=2－x，BM= x，MC=2－x。 ∴SPMCN??2?x???2?x?，S?ABM?1?2?x?x。 2 由?2?x???2?x??x解得x =1，x =4（不合题意，舍去）。 ∴当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等。
【考点】动点问题，平行四边形的性质，菱形的判定，解一元二次方程，反证法的应用。 【分析】（1）用反证法证明四边形PMCN不可能是菱形。
（2）设AP=x，用x表示出四边形PMCN的面积和△ABM的面积，由二者相等列式解一元二次方程
即可。
15.（2006年浙江湖州10分）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短； （3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）
7。 25（2）。
455（3）存在。，?。
23【考点】单动点和双动点问题，轴对称的应用（最短线段问题），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据题意，设出并找到B（4，－1）关于x轴的对称点是E，其坐标为（4，1），进而可得直线AE的解析式，进而可得答案：
设点B（4，－1）关于x轴的对称点是E，其坐标为（4，1），
设直线AE的解析式为y=kx?b， 把A（2，－3），E（4，1）代入得：
?2k?b??3?k?2，解得。 ??4k?b?1b??7??∴直线AE的解析式为y=2x?7。 令y=0得x=∴p=
7。 27。 2（2）B向左平移3个单位得F(1,－1)，FBDC是平行四边形，AB+BD+DC+CA=AB+FC+3+AC，AB是定长，所以FC+AC最短。
过A点作AG⊥x轴于点G，且延长AG，取EG=AG， 那么E（2，3），取点F（1，－1），连接EF， 设直线EF的解析式为y=kx?b，
?k?b=?1?k=4则?，解得：?。
2k?b=3b=?5??∴直线EF的解析式为y=4x?5。
∵C点的坐标为（a，0），且在直线EF上，∴a=（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N。
作A关于y轴的对称点E，作B关于x轴的对称点
F，连接EF，与x轴、y轴的交点即为点M、N。
∴E（－2，－3），F（4，1）。 ∴同上可求直线EF的解析式为：y?5。 425x?。 3355，0），N（0，?）。 2355∴m=，n=?。
23∴M（
16.（2006年浙江舟山、嘉兴14分）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），?以OA?为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，?以BC?为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E?的坐标；若有变化，请说明理由．
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．
【答案】解：（1）两个三角形全等。证明如下：
∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA=∠CBD=60°。 ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD。 ∵OB=AB，BC=BD，∴△OBC≌△ABD（SAS）。 （2）点E位置不变。理由如下：
∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∠OAE=180°－60°－60°=60°。 在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°=3。
∴点E的坐标为（0，3），即点E位置不变。
（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG= 又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，∴OE2=EG·EF。 在Rt△EOA中，AE=3?1=2， ∴
m。 n??32m????2???2?n?，即2n2?n?2m?mn?0。
n??2n2?n 解得m=。
n?2
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相交弦定理，切线的判定，切割线定理，代数式化简。
【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA=∠CBD=60°，易得∠OBC=∠ABD，又有OB=AB，BC=BD故有△OBC≌△ABD。
（2）由（1）知，△OBC≌△ABD?∠BAD=∠BOC=60°，可得∠OAE=60°，在Rt△EOA中，有
EO=OA?tan60°=3，即可求得点E的坐标，即点E位置不变。
（3）由相交弦定理知1?m=n?AG，即AG=
m ，由切割线定理知，OE2=EG?EF，在Rt△EOA中，由nm????2???2?n? ，即可求得m与n关系。
n??勾股定理知，AE=3?1 =2，故建立方程：
??3217.（2007年浙江湖州12分）如图，P是射线y＝点，与x轴的正半轴交于A、B两点。
3x(x＞0)上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C 5（1）若⊙P的半径为5，则P点坐标是( ， )；A点坐标是( ， )；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是 ；
（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；
（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）P（5，3）；A（1，0）；y??32x?5??3?。 16（2）C点关于原点的对称点8的坐标为（0，－3），
3272?0?5??3??， 161632∴D点不在抛物线y???x?5??3上。
16∵当ｘ＝0时，y??（3）存在。
3设P（m，m），m＞0，
5过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
34∵PA=PC=m，PQ=m，∴AQ=m 。
55193∴A（m，0)，B（m ，0），C（0，m）。
555设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为
1??9??y?a?x?m??x?m?，
5??5??3将C（0，m） 代入解析式，得：
531??9?5?。 m?a?0?m??0?m?，解得：a?55??5?3m?∴经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y?5?1??9??x?m??x?m? 。 3m?5??5?∵y?5?1??9?521035162x?mx?m?x?x?m?x?m?m， ??????3m?5??5?3m353m15∴抛物线的顶点坐标为（m,?∴存在直线l：y??顶点都在直线上。
16。 m）15163x，当P在射线y?x上运动时，过A，B，C三点着抛物线着155【考点】一、二次函数综合题，动点问题，直线与圆相切的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。
【分析】（1）∵圆的半径为5，且圆与y轴相切，∴P点的横坐标为5。
3∵P点在射线y?x上，∴P点的纵坐标为3。
5∴P（5，3）。
连接PA，过P作PM⊥BA于M，则AP=5，PM=3， ∴根据勾股定理可得：AM=4。 ∵OM=5，∴OA=1。 ∴A（1，0）。