第七章 向量代数与空间解析几何（1，2）
陈建英 上饶职业技术学院
第一节 向量及其线性运算（1、2）
教学目的：理解空间直角坐标系的概念;点的坐标；掌握空间两点的距离公式. 教学重点：空间中的点与三个有序实数的一 一对应关系 教学难点：点的坐标是空间点在坐标轴上的投影 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程
一、引入新课
立体几何中长方体的对角线计算公理及其常用的公理。 二、新授课
第一节向量及其线性运算 一﹚空间直角坐标系
1．空间直角坐标系Oxyz的概念，如（图7-1）
（1）坐标轴：横轴X轴、纵轴Y轴和
竖轴Z轴三条。
右手法则（遵守右手法则时各种坐标系的画法） 点O称为坐是原点
（2）坐标面：xOy面、yOz面和zOx面。 （图7-1） 2．空间内点的坐标，如（图7-2） （1）M在坐标轴上的投影； （2）点M的坐标M(x,y,z)；
例1 作出点P（2，-3，4）在坐标轴上的投影。
例2求点M（-1，3，-2）在各坐标轴上的投影及在各坐标面上的垂足的坐标。
（图7-2） 3．八个卦限，如（图7-3） 第一卦限x?0,y?0,z?0; 第二卦限x?0,y?0,z?0; 第三卦限x?0,y?0,z?0; 第四卦限x?0,y?0,z?0;
第五卦限x?0,y?0,z?0; （图7-3）
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第六卦限x?0,y?0,z?0; 第七卦限x?0,y?0,z?0; 第八卦限x?0,y?0,z?0;
例3 在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点 O（0，0，0）； A（0，-1，0）； B（5，0，-2）； C（-2，3，4）
4．空间两点间的距离公式，如（图7-4）
该长方体的各棱长分别为 x2?x1,y2?y1,z2?z1。
设点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)是空间两点。
M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 （1） （图7-4）
例1 求点M(x,y,z)到三条坐标轴的距离。 解 设点M在x轴的投影为点P，则点P的坐标为P(x,0,0)，且线段MP的长就是M到轴的距离。由公式（1）得
MP? ?(x?x)2?(y?0)2?(z?0)2 y2?z2 同理可知，点M到y轴和z轴的距离分别为 MQ?x2?z2,MR?x2?y2,
其中Q，R分别是点M在y轴和z轴上的投影点。
例1 在y轴上求与点A(1,?3,7)和B(5,?7,5)等距离的点。 解： 因为所求的点在y轴上，故可设它为M(0,y,0)，依题意有
MA?MB, 即有 解得
y?2, 因此，所求的点为M(0,2,0)
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(1?0)2?(?3?y)2?(7?0)2?(5?0)2?(7?y)2?(?5?0)2
三、本节小结：
知识点：坐标系，点的坐标，空间两点间的距离公式。
四、课外作业：
1。已知点A(2,-1,1)，分别画出点A与z轴、y轴和x轴的距离的线段并计算其距离值；
2。求点（2，-3，-1）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。并分别在三个坐标系里作出图像。
3。设A，B两点为A（4，-7，1），B（6，2，z），它们之间的距离为AB=11，求点
B的未知坐标z 。
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己授班级：（1） 时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（3，4）
陈建英 上饶职业技术学院
第一节 向量及其线性运算（3，4）
教学目标：1．知识与技能：了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；
2．过程与方法：运用类比的方法，经历平面向量及其运算向空间向量推广的过
程；
3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度；使学生深刻认识数学和现实
世界的联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
教学难点：平面与空间向量的异同点 教学形式：讲授法，迁移应用，巩固小结 教学时间：90分钟 教学过程
一、引入新课 向量的概念 二、新授课
二﹚向量与向量的线性运算 1．向量的概念
与平面向量共有的概念：⑴数量或标量与向量或矢量；
????????? ⑵向量的几何表示法与记法：AB；a，b，i，F；a,b,i,F；
????? ⑶点M的向径OM与自由向量；
??? ⑷向量a的模a；单位同量；零向量0（规定零向量的方向可
以是任意的）
???? ⑸向量a与b相等，记作a?b
???? ⑹平行向量、共线向量：向量a与b平行，记作a//b
与平面向量有不同意义的有：
空间中两直线的位置：平行，相交与异面
⑺向量的夹角?(0????)
注意：
a a ??当a与b中有一个是零向量时，规定它们的夹角可以在[0,?]中任意取值。当(a,b)???b ?2????时，就称向量a与b垂直，记作a?b。
可以认为零向量与任何向量都垂直。异面垂直向量是容易被忽略的几何现象．
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２．向量的线性运算
向量的线性运算：向量的加法，数与向量乘法的统称。
复习平面内向量的线性运算
（1）向量的加法：向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则。
??????（2）向量的减法：向量a与—b的和称为a与b的差，记作a?b。
????（3）数与向量乘法：实数?与向量a的乘积?a是一个平行于a的向量，它的模是向量a的?????模的?倍，即?a??a，并规定，当??0时，?a与a的方向相同，当??0时，?a??与a的方向相反，当??0时，?a为零向量。
空间里向量的线性运算，抓住确定平面的条件公理1、2、3、4，将空间向量转化为平面向量。
3．向量的加法，数与向量的的乘法有以下运算性质：
（1） 交换律 a+b=b+a
（2） 结合律 （a+b）+c=a+（b+c）
?? ?(?a)?(??)a(?,?是数）；
???（???）a??a??a(?,?是数）；（3） 分配律 ????（a?b）??a??b(?是数） ?
??????????例 已知平行四边形ABCD的对角线向量为AC?a，BD?b，试用向量
??????????a和b表示向量AB和DA。
????????解 设AC，BD的交点为O（图7—６），由于平行四边形对角线互相平分，
故
（图7—６）
????1????1?????????1????1? AO?AC?a,BO?OD?BD?b
2222根据三角形法则，有
???????????????????? AB?AO?BO?AO?BO
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