因为它们的法向量分别为
n1?(A1,B1,C1)则
，
n2?(A2,B2,C2)
cos??
n1?n2n1n2?A1A2?B1B2?C1C2A12?B12?C12A22?B22?C22 由此可得，平面
?1与?2垂直的充分必要条件为A1A2?B1B2?C1C2?0。
例7 求平面x?2y?z?3?0与2x?y?z?1?0的夹角。 解 因为
n1?(1,2,?1)，
n2?(2,1,1)
所以，由两平面夹角公式，
cos??n1?n2n1n2?1?2?2?1?(?1)?112?22?(?1)222?12?12?12
故两平面的夹角
???3。
2、点与平面的距离
空间中的点与平面间的位置关系有两种情况，就是点在平面上或者点不在平面上。 点在平面上的条件是点的坐标满足平面的方程；点不在平面上时，我们来讨论点到平面间的距离。
设点
P0(x0,y0,z0)是平面?:Ax?By?Cz?D?0外一点，
下面我们来求点
过点一
点
P0到平面?的距离。
垂直于平面?，垂足为P，在平面?上任取
P0作
P0Px1,P(1y1,z)，连
结
P0P1，则向量
P1
PP?(x0?x1,y0?y1,z0?z1)10????????。设向量
PP10与平面的法向量
n?(A,B,C)的夹角为?，由图可知，点P0到平面?的距离为
d?PPcos?10由于
????
PP?n?A(x0?x1)?B(y0?y1)?C(z0?z1)10?????Ax0?By0?Cz0?(Ax1?By1?Cz1)
又点
P(x1,y1,z1)1在平面?上，从而
Ax1?By1?Cz1?D?0，即
Ax1?By1?Cz1??D
31
所以
PP?n?Ax0?By0?Cz0?D10????
于是
Ax0?By0?Cz0?D?cos??????????PPnPPA2?B2?C21010PP?n10????
d?PPcos??10故 即点
????Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2
P0到平面?的距离为
d?
例6 求点解
Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2 P0(?1,2,?2)到平面2x?y?2z?5?0的距离。
d?
Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222?2?(?1)?1?2?2?(?2)?52?1?(?2)222?93?3
三、本节小结：
两平面的夹角和点到平面的距离公式 四、课外练习：
1.求平面2x?y?z?7与x?y?2z?11的夹角. 2.判断下列各平面的位置关系.
（1）x?2y?7z?3?0,3x?5y?z?1?0. (2) x?y?z?7?0, 2x?2y?2z?1?0. (3) 2x?3y?z?1?0, x?y?2z?1?0.
32
己授班级：（1） 授课时间：（1）
（2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（17，18）
陈建英 上饶职业技术学院
第三节 平面与直线（7、8）
教学目的：掌握直线与直线夹角；直线与平面的夹角；
教学重点、难点：通过推导上述两个公式理解法向量，直线方向概念的应用。 教学形式：分析、讲授法
教学时间：两个课时计90分钟 教学过程
一、引入新课
1。空间两条直线的位置关系 2。直线与平面的位置关系 二、新授课
1、空间两直线的夹角
?我们规定：空间两条直线的方向向量夹角中不超过2的角为这两条直线的夹角。
设两条直线角?的余弦为
L1和
L2的方向向量分别为
v1?(l1,m1,n1)和
v2?(l2,m2,n2)，则
L1和
L2夹
cos?? 由此可得： 直线
v1?v2v1v2?l1l2?m1m2?n1n2l12?m12?n12l22?m22?n22 (7.14) L1和
L2垂直的充分必要条件为
l1l2?m1m2?n1n2?0； 直线
L1和
L2平行（或重合）的充分必要条件为
l1 l2例1 求直线
?m1m2?n1n2。
（图7--22） ?y?2?z?3?1
L1:x?21?y?1?4?z1与
L2:x?12的夹角?。
解 直线
L1和
L2的方向向量分别为
v1?(1,?4,1)和
v2?(2,?2,?1)，则
33
cos??v1?v2v1v2?1?2?(?4)?(?2)?1?(?1)12?(?4)2?1222?(?2)2?(?1)2?22
故 例2 求直线l:???4
x?1y?1z??在平面?:2x?y?0上的投影直线的方程。 2?12? 解： 过直线l作平面?1与平面?垂直。显然直线l的方向向量s?(2,?1,2)及平面????的法向量s?(2,?1,0)都与平面?1平行，故向量积s?n与平面?1垂直，即它是平面?1的一
个法向量。而
???? s?n?2?12?2i?4j
2?10又直线l上的点（1，-1，0）在平面上?1，于是平面?1的方程为 2(x?1)?4(y?1)?0, 即
x?2y?1?0. 所以，投影直线的方程为 ?
2、直线与平面的夹角
我们规定：当直线L和平面?平行或L在平面?上时，它们的夹角为0；
?i?j?k?x?2y?1?0,
?2x?y?0.?当直线L和平面?垂直时，它们的夹角为2；
v
当直线L和平面?既不平行也不垂直时，它们的夹角为直线L和它在平面?上的投影直线所构成的锐角?（如图7-17）。
设直线L的方向向量为v?(l,m,n)，平面?的法向量 为n?(A,B,C)，它们的夹角为?，则
图7-17
34
???2??
于是
sin??cos??n?vnv?Al?Bm?CnA2?B2?C2l2?m2?n2 由此可知，直线L和平面?平行或L在平面?上的充分必要条件是 Al?Bm?Cn?0 直线L和平面?垂直的充分必要条件是v∥n，即
A l?Bm?Cn
x例5 求直线?1?y?11?z?12与平面2x?y?z?3?0的夹角。
解 v?(?1,1,2)，n?(2,1,?1) 于是
sin???
n?vnv?36??12?1?2?1?1?2?(?1)(?1)2?12?2222?12?(?1)2
所以
???6。
三、本节小结：
两直线间的夹角；直线与平面间的夹角； 四、课外作业： 1、求直线
L1:x?34?y?2?12?z?1x?1y?2z和直线L2：??的夹角.32?1?2
?3x?y?2z?0,?2、求直线?6x?3y?2z?2.的方向余弦（即方向向量的方向余弦）.
3、确定下列每对直线的位置关系
x（1）?1?y1?z?2?2与??2x?y?2z?4?0?x?y?2z?3?0;
1?x??9t?3x?14yz?21???与?y?1?3t315?1?z???15t3?（2） ;
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