己授班级：（1） 时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（13，14）
陈建英 上饶职业技术学院
第三节 平面与直线（3、4）
教学目的：掌握建立空间直线方程的方法，熟练使用对称式、参数式、一般式的直线方程。 教学难点、重点：建立直线方程的原理。重点掌握直线方程的几种形式和特殊位置的直线方
程，建立直线与方程的转换思维。
教学形式：探讨与讲述
教学时间：两个课时90分钟 教学过程
一、引入新课
（1）预备知识：由立体几何知道，过空间一点作平行于已知直线是唯一的。 （2）轨迹方程概念：完备性与纯粹性。 （3）
二、新授课：
第三部分 直线 空间直线的方程
1、直线的一般方程
空间任意一条直线总可以看成两个平面的交线。
设直线L是平面所以可以用方程组
?1:Ax1?By1?Cz1?D1?0和?2:Ax2?By2?Cz2?D2?0的交线，
?Ax1?By1?Cz1?D1?0??Ax2?By2?Cz2?D2?0 （7.10）
来表示直线L的方程。我们把方程组（7.10）称为直线的一般方程。
2、直线的参数式方程和对称式方程（或称着直线的点向式方程） 直线的一般方程虽然使用起来比较方便，但是它看不清楚直线的位置。
其次任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。
在空间给定一点
M0(x0,y0,z0)和一个非零向量
v?(l,m,n)，那么通过点M0且与向量v平行的直线L就被惟一确定。我们把向量v称为直线L的方向向量。显然，任何一个与直线L平行的非零向量都可以作为直线L的方向向量，即有无数多条直线L的方向向量。
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设点M(x,y,z)为直线L上任一点，则向量可以作为直线L的一个方向向量，因此使得
M0M?(x?x0,y?y0,z?z0)??????在直线L上，
M0M??????∥v，根据向量平行的充要条件，存在实数t，
M0M?tv??????，即
?x?x0?lt??y?y0?mt?z?z?nt?0 （7.11）
我们把（7.11）称为直线L的参数方程，其中t为参数。
从直线的参数方程（7.11）中消去参数t，得到
x?x0
l?y?y0m?z?z0n （7.12）
我们把（7.12）称为直线L的对称式方程。因为该方程是由直线上的一点和它的一个方向向量所确定的，因此我们又把它称为直线L的点向式方程。
注意：在（7.12）式中，当一个或两个分母为零时，我们约定分子也为零。 3、直线L的两点式方程 例1 求通过空间两点解 因为直线经过点
M1(x1,y1,z1)和
与
M2(x2,y2,z2)的直线L的方程。
M1M2，所以我们可以取向量
且以M1M2为方向向量的直线，
M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)作为直线L的方向向量。因此，直线L可以看成经过点
??????M1??????x?x1所以直线L的点向式方程为 x2?x1?y?y1y2?y1?z?z1z2?z1 （9.13）
我们把（9.13）称为直线L的两点式方程。
例2 求通过点A(2,0,?1)且垂直于平面x?2y?3z?2?0的直线方程。
解 由于所求直线垂直于已知平面，所以可以取平面的法向量n?(1,?2,3)作为直线的方向向量，故所求的直线方程为
x?2 1例3 化直线的一般方程
?y?2?z?13
?x?3y?2z?2?0?2x?y?5z?3?0 ?
为对称式方程。
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解 因为直线同时在两个平面上，所以它的方向向量同时垂直于这两个平面的法向量。而这两个平面的法向量分别为
n1?(1,3,?2)k和
n2?(2,?1,5)，因此可以取直线的方向向量为
in1?n2?1
j3?1?2?13i?9j?7k5
2由于方向向量的三个坐标都不为零，我们可以在直线上任取一点代入直线的一般方程，得
(x0,y0,z0)，如取
z0?0，
?x0?3y0?2?0?2x?y0?3?0 ?0
解出
x0??1,y0?1，则点(?1,1,0)在直线上。
故直线的对称式方程为
x?1 13?y?1?9?z?7。
三、本节小结：
直线方程：参数式方程、点向式方程、两点式方程、一般式方程及其相互转化 四、课外作业： 1。课堂练习： （1）求过点
M1(2,3,1)和
M2(?1,2,0)的直线方程.
x?3?y?z?15平行，求此直线方程.
（2）一直线通过点(2,2,?1)且与直线2?2x?y?1?0,?(2,?2,?0)（3）一直线通过点，且与直线?3y?2z?1?0.平行，求此直线方程.
（4）.将直线方程化为参数方程及一般方程.
(1)x?22?y?1?z?33
（2） 2x?1?3?y?4z
x?5y?2z?1(3)??.102
（5）求过点(2,?3,?4)且垂直与平面3x?y?2z?4的直线方程. 2。课外作业
?x?3?t,??y?t,?z?1?2t.(3,4,?1)（1）一直线通过点且与直线?平行，求此直线方程.
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（2）将下列直线的一般方程化为点向式方程及参数方程.
?x?y?z?5?0,(1)??5x?8y?4z?36?0.
(2)??x?5y?2z?1?0,?z?2?5y.z?1,
(3)???2x?3y?2.
?x?2z?5?0,(4)??y?6z?7?0.
（3）.求下列各平面的方程. (1)过点(2,0,?3)且与直线
x?5?y?1?1?z?22垂直.
?x?1?t,?x?3,???y?2?2t,及?y?1?t,平行.??(2)过点(1,2,1)且与直线?z??1?3t.?z?2?t.
x?4(3)过点(3,1,?2)及直线5
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?y?32z?.1
己授班级：（1） 授课时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（15，16）
陈建英 上饶职业技术学院
第三节 平面与直线（5、6）
教学目的：通过学习两平面的夹角和点到平面的距离公式的推导，熟悉平面方程的结构及其
常用公式
教学难点、重点：推导两平面的夹角和点到平面的距离公式。使用上述两个公式和推导过程
中基本关系。
教学形式：讲授法
教学时间：两个课时90分钟 教学过程
一、引入新课
两平面的位置关系
空间两平面的位置关系有相交、平行和重合三种情形，而且当且仅当两平面有一公共点时相交，当且仅当两平面没有公共点时平行，当且仅当一个平面上的所有点都是另一个平面的点时它们重合。如果设两个平面的方程是： 那么平面
?1:Ax1?By1?Cz1?D1?0 （1） ?2:Ax2?By2?Cz2?D2?0 （2）
?1与?2是相交还是平行或者重合就可以归结为方程（1）和（2）组成的方程组是
有解还是无解或者一个方程的解都是另一个方程的解。于是我们有
结论： 两平面
?1与?2相交的充分必要条件是
A1:B1:C1?A2:B2:C2
平行的充分必要条件是
A1 A2重合的充分必要条件是
?B1B2?C1C2?D1D2
A1 A2?B1B2?C1C2?D1D2。
二、新授课：平面、直线间的夹角 1、两平面的夹角
?我们规定：两个平面的法向量夹角中不超过2的角为两平面的夹角。
由此，设平面
?1与?2夹角为?，
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