?3x?z?4?0,?6x?y?1?0与??y?2z?9?0.?y?2z?9?0. （3）?4、确定直线与平面的位置关系.
x?3（1）?2?y?4?7y?1?2?z3z与4x?2y?2z?3?0.
x?1（2）3??7与3x?2y?7z?8?0.
x?2（3）
3?y?31?z?4?4与x?y?z?5?0.
?y?1?0,?(0,?1,1)5.求点A到直线?x?2z?7?0的距离.
36
己授班级：（1） 授课时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（19，20）
陈建英 上饶职业技术学院
第四节 曲面和空间曲线（1、2）
教学目的：了解曲面及其方程的概念；常握几种常见的曲面：球面、柱面及其方程。
教学重点、难点：由曲面及其方程的概念建立曲面方程。难点是建立柱面方程和根据方程绘
出柱面图形的能力。
教学形式：探讨、绘图及讲授 教学时间：两个课计90分钟 教学过程
一、引入新课
在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹. 二、新授课
1、曲面方程的概念
在空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定的规律运动的点的轨迹。空间中的点按一定的规律运动，它的坐标(x,y,z)就要满足某个关系式，这个关系式就是曲面的方程，记为F(x,y,z)?0，于是
定义 如果曲面?上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)?0，不在曲面?上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)?0，则称方程F(x,y,z)?0为曲面?的方程，而曲面?称为方程
F(x,y,z)?0的图形。
2、几种常见曲面及其方程 （1）球面
现在我们来求球心在点
M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程。
设点M(x,y,z)为球面上任意一点，则 即
M0M?R??????，于是有
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2
x2?y2?z2?2x0x?2y0y?2z0z?x02?y02?z02?0
222 即有：x?y?z?Dx?Ey?Fz?G?0 例1 方程x?y?z?4x?2z?0表示怎样的曲面？
222 解： 通过配方，所以原方程写成
(x?2)?y?(z?1)?5
222（图7--24）
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对比
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2式知，它表示球心在点（2，0，-1），半径为5的球面。
显然，球面上的点的坐标都满足上述方程，不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以它就是所求球面的方程。特别地，球心在原点O(0,0,0)，半径为R的球面方程为
2222x?y?z?R
练习题：
1、球面2x?2y?2z?z?0的球心为______，半径为______； 2、方程x?y?z?2x?4y?2z?0表示什么曲面？
3、已知球面的一条直径的两个端点是（2，-3，5）和（4，1，-3），写出球面的方程。
（2）柱面：
动直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面。定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线（如图7-18）。
母线平行于坐标轴的柱面
下面我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。先看一个例子。 设一个圆柱面的母线平行于z轴，准线C是xOy平面上以原点为圆心，R为半径的圆。
222x?y?RC在平面直角坐标系中，准线的方程为，现在我们来求这个圆柱面的方程。
222222设点M(x,y,z)为圆柱面上任意一点，过点M的母线与xOy平面的交点
M0(x,y,0)，
一
定在准线C上（如图7-19）。因此，不论点M的坐标中的z取什么值，坐标x和y必满足方程x?y?R；反之，不在圆柱面上的点的坐标不满足该方程，所以所求的圆柱面的方程
222x?y?R为。
222由此可知，在平面直角坐标系中，方程x?y?R表示一个圆，而在空间直角坐标系
222x?y?R中，方程表示一个母线平行于z轴的圆柱面。
222
图7-18
图7-19
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一般地，如果柱面的准线是xOy平面上的曲线C，它在平面直角坐标系中的方程为
f(x,y)?0，那么以C为准线，母线平行于z轴的柱面方程就是f(x,y)?0。
类似地，方程g(y,z)?0表示母线平行于x轴的柱面，方程h(x,z)?0表示母线平行于y轴的柱面。
由此可见，在空间直角坐标系中，只含两个变量的方程表示母线平行于所缺坐标轴的柱面。
x2例2 在空间直角坐标系中方程a2?y2b2?1,x2a2?y2b2?1,y2?2px表示的柱面与xOy平
面的交线分别是椭圆，双曲线和抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面（如图7-20），双曲柱面（如图7-21）和抛物柱面（如图7-22）。由于这些方程都是二次的，所以统称为二次柱面。
图7-20
图7-21 图7-22
三、小结：
球面与柱面方程。 四、课堂及课外练习：
?x2?y2?z2?9,1。母线平行y轴，准线为?的柱面方程为______；
y?1? 2．指出下列方程表示什么曲面，并作出它们的草图： （1）x?y?0.； （2）y?2x；
（3）x?y?1;
222x2y2??1; （4）49
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3。求下列球面的方程.
(1)球心在点(?1,?3,2)处，且通过点(1,?1,1). (2)球面过点(0,2,2),(4,0,0)，球心在y轴上. 4。求下列球面的球心和半径. (1)x?y?z?6z?7?0.
(2)36x?36y?36z?72x?36y?24z?13?0.
40
222222