???? BA?(?1?1,2?1,3?1)?(?2,1,2),
????BC?(0?1,0?1,5?1)?(?1,?1,4),
故
???????? BA?BC?(?2)?(?1)?1?(?1)?2?4?9,
????????222 BA?(?2)?1?2?3,BC?(?1)2?(?1)2?42?32
于是
????????BA?BC92 cos?ABC?????, ??????2BABC3?32所以
?ABC??4.
???????????a 例3 设a??i?j , b?2i?j?2k，求 a?b ，Prjb 解 由（3）式得
?? a?b?(?1)?2?1?1?0?(?2)??1
因为
????? a?b?bPrjba
而
? b?22?12?(?2)2?3
所以
???a?b1?a????. Prjb3b例4 设?ABC的三个顶点为A(0,1,?1),B(1,3,4),C(?1,?1,0)，证明?ABC为直角三角形。
解 各边所在的向量为 AB?i?2j?5k，
???????因为 AB?AC?1?(?1)?2?(?2)?5?1?0 所以 AB?AC 故 ?ABC为直角三角形。
???????BC??2i?4j?4k
???AC??i?2j?k
??????? 16
三、本节小结：
向量数量积的概念、几何意义、性质、投影和向量坐标的数量积运算 四、作业： 课堂练习： P1364 习题7-2
2．设a?3i?j?2k,b?i?2j?k,求：
（1） a?b; （2）Prjab,Prjba; （3） cos(a,b); （4）(2a?b)?(a?2b). 3．设a?(1,2,3),b?(?2,k,4),试求数k，使得a?b。
课外作业：P14 习题7-2 4．设a?3,b?2,(a,b)????3,求：
（1）(3a?2b)?(2a?5b); （2）a?b。
5．已知点A（1，-3，4），B（-2，1，-1），C（-，-1，1），求：
???????? （1） ?ABC （2）AB在AC上的投影。
17
己授班级：（1） 时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（9，10）
陈建英 上饶职业技术学院
第二节 向量的乘法运算（3、4）
教学目的：向量积的定义；并掌握用坐标进行向量的向量积运算，两向量平行的充要条件 教学重点、难点：向量积的几何意义；向量积的运算律 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 1、引入新课
前面我们讨论了向量的一种乘法运算，数量积。运算结果是一个数。但在物理和工程领域中往往还需要向量的另一种乘法运算，运算结果是一个新的向量，这就引出数学上两向量的向量积的定义。 2、新授课
二、向量的向量积
定义2 两向量a和b的向量积是一个向量c，记为c?a?b。c由下列条件确定：
?,b)?b??c?a?b?absin(a0?(,a)（1）
，（
）。
（2）c?a且c?b。
（3）a、b、c的方向服从右手法则：即平移a、b、c使其有共同的始点，当右手的四个手指从a以不超过?的角度转向b握拳时，大拇指所指方向就是c的方向。
向量积又称为叉积或外积，向量积的模的几何意义是：它的数值是以a、b为邻边的平
行四边形的面积。
由向量积的定义可得
（1）a?a=0
（2）若a、b为非零向量，则a?b的充要条件是a?b=0
?,b)?0?a?0，b?0时，a?b?0，只有sin(a，故(a,b)?0或?，所以
?,b)?0a?b。反之，若a?b，则sin(a，故a?b=0。
因为当
由于零向量方向可看作是任意的，故可以认为零向量与任意向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量a?b的充要条件是a?b=0。
向量的向量积满足下列运算规律
（1）a?b??b?a
（2）(?a)?b=?(a?b)=a?(?b)（?为实数） （3）a?(b?c)?a?b?a?c
(b?c)?a?b?a?c?a
图中只给出了三个向量不共面的情形的证法，共面的情形是平常好理解的那种的。平行六面体下方的平面是跟平行六面体的侧棱垂直的。而向量(a+b) ×c、a ×c和b ×c所在平面与向量g、e和f所在的平面平行，并且对应垂直。
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下面我们来推导向量的向量积的坐标表示式 设
a=axi?ayj?azk , b=bxi?byj?bzk，按向量积的运算规律可得
a?b=(axi?ayj?azk) ?(bxi?byj?bzk) = axbx(i?i)+axby(i?j)+axbz(i?k)+ aybx(j?i)+ayby(j?j)+aybz(j?k)+ azbx(k?i)+azby(k?j)+azbz(k?k) 由于i、j、k是两两互相垂直的单位向量，故有
i?i=j?j=k?k=0 i?j=k j?k=i k?i=j从而得到
j?i=?k k?j=?i i?k=?j
a?b=(axbz?azby)i?(axbz?azbx)j?(axby?azbx)k为了便于记忆，可借用行列式表示为
ia?b?(axi?ayj?azk) ?(bxi?byj?bzk)=axbx?aybyazbzi?axbxazbzj?axbxaybykjaybykazbz
例1 设向量a?i?2j?k，b?2j+3k。计算a?b，并计算以a、b为邻边的平行四边形的面积。
解：
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ijk3a?b=12?1?02 =8i?3j+2k2?123i?1?103j?1202k。
根据向量积的模的几何意义，a?b的模在数值上就是以a、b为邻边的平行四边形的面积。因而其面积A为
A?a?b?82?(?3)2?22?77。
介绍三个向量共面的概念。如果三个向量在一个平面上，或经过平行移动后能在一个平面上，则称此三个向量共面。
例2 问向量a??2i?3j?k，b??j?k，c?i?j?k是否共面？
解：判断三个向量是否共面，只要判断其中两个向量的向量积是否与第三个向量垂直，如果垂直，则三个向量共面，否则不共面，为此只要计算(a?b)?c是否为零。
ia?b??20所以
故a、b、c共面。
j3k1?4i?2j?2k
?11(a?b)?c=(4i+2j+2k)?(i?j?k)=4?2?2=0
ooo例3 求单位向量c，使c?a，c?b。其中a=i+j，b?k。
ooocc?ac?b解：因为，，故?a?b，为此计算
ijka?b?11与a?b平行的单位向量应有两个：
0?i?j
001co??三、本节小结： 叉积定义及性质 四、课外作业：
a?b1??(i?j)a?b2
1．已知向量a?3i?2j?k,b?i?j?2k，求：
（1）a?b和a?b （2）5a?3b和2a?7b （3）3b?5a和7b?2a
2．设向量p??a?5b, q?3a?b，其中a , b是相互垂直的单位向量，分别求出满足下列条件的?的值：
（1）以p , q为边的三角形面积为8；
q； （3）p ? q。 （2）p ∥3．若向量a?3b垂直于向量7a?5b，而向量a?4b垂直于向量7a?2b，求向量a与b之
间的夹角。
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