己授班级：（1） 时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（11，12）
陈建英 上饶职业技术学院
第三节 平面与直线（1、2）
教学目的：掌握空间轨迹方程的概念；会求平面方程
教学重点、难点：平面方程的建立。平面方和的几种表达式的转化。 教学形式：讨论法与讲授法 教学时间：二节课时计90分钟 教学过程
一、引入新课
一> 空间几何里确定平面的条件有：
1、不在一条直线上的三点确定一个平面。 2、直线和直线外一点确定一个平面。 3、两条相交直线确定一个平面。 4、平行直线确定一个平面。
5、过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个。 二> 点的轨迹方程概念
1、在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程——曲线方程的概念。同样，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹也能用方程或方程组来表示，从面得到曲面或曲线方程的概念。
2、轨迹方程的求法 求轨迹方程是学习圆锥曲线过程中的一个重要方面，很多问题只有建立了曲线的方程才能解决问题。求轨迹方程常用的方法主要有以下几种： ① 直接法：即直接利用条件建立之间的关系；求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围，特别是确定范围需要根据实际情况而定。 ② 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 ③ 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； ④ 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程； ⑤ 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。； 在这里需要注意的问题还有： ① 如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 ② 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 21
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 二、新授课
1、平面的点法式方程
（1）平面的法向量：与平面垂直的非零向量。显然，平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直。
（2）平面?的点法式方程：设定点
的方程。
设点M(x,y,z)为平面?上任一点，则向量
M0(x0,y0,z0)以向量n?(A,B,C)为法向量的平面?M0M?(x?x0,y?y0,z?z0)所以
图7.14
??????在平面?上（如图7-14），
， （7.7）
n?M0M??????，从而
n?M0M?0??????A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0显然，平面?上任一点M(x,y,z)的坐标都满足（7.7）式。
?????? 反之，如果点M(x,y,z)不在平面?上，那么向量
M0M与法向量n就不垂直，从而
n?M0M?0??????，即
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0。这说明，不在平面?上的点的坐标
就不满足（7.7）式。，所以平面?上的点点坐标与方程（7.7）的解之间有着一一对应的关系。我们把方程（7.7）称为平面?的方程，而平面?称为方程（7.7）的图形。因为方程（7.7）是由平面?上的定点
M0(x0,y0,z0)和它的法向量n?(A,B,C)所确定的，所以方程
（7.7）称为平面?的点法式方程。
例1 求过点(1,2,?1)且与向量n?(?2,1,3)垂直的平面方程。
解 由平面法向量的概念知，向量n?(?2,1,3)为所求平面的一个法向量，于是，由（9.7）式可得所求平面的方程为
?2(x?1)?(y?2)?3(z?1)?0 即 2x?y?3z?3?0
例2 求过点(0,?2,3)且与平面3x?y?2z?2?0平行的平面方程。
解 由平面的点法式方程（7.7）知，平面3x?y?2z?2?0的法向量为n?(3,?1,2)。所求的平面与该平面平行，所以它们的法向量也平行，n?(3,?1,2)也是所求平面的法向量。 因此，所求平面方程为
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3(x?0)?(y?2)?2(z?3)?0 即 3x?y?2z?8?0
例3 求经过三点解 由于点知，向量
M1(1,?1,2),M2(2,1,0),M3(0,2,7)在平面上，则向量
的平面方程。
都在平面上，由向量积的定义
M1,M2,M3M1M2,M1M3????????????M1M2?M1M3????????????与向量
M1M2,M1M3????????????都垂直，从而垂直于所求的平面，所以它是所
求平面的一个法向量。 因为
M1M2?(1,2,?2)M1M3?(?1,3,5),
所以
????????????M1M2?M1M3?1????????????ij2k?2?523?25i??251?1j?12?13?13k?16i?3j?5k故所求的平面为
16(x?1)?3(y?1)?5(z?2)?0 即 16x?3y?5z?29?0
2、平面的一般方程
在平面的点法式方程（9.7）中，如果令
D??(Ax0?By0?Cz0)，则可以改写为
Ax?By?Cz?D?0
由此可知，任何一个平面的方程都是x,y,z的三元一次方程；反过来，设有三元一次方程
Ax?By?Cz?D?0 （7.8）
（其中A,B,C,D为常数，且A,B,C不全为零）由于A,B,C不全为零，所以方程一定有解， 任取满足该方程的一组解
x0,y0,z0，即有
Ax0?By0?Cz0?D?0用（7.8）去减该式，可得与方程（9.8）同解的方程 而这个方程是经过点
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?D?0
M0(x0,y0,z0)且以向量n?(A,B,C)为法向量的平面的方程。 由此
可见，任何一个三元一次方程都表示一个平面的方程。我们把（9.8）称为平面的一般方程。 它的三个一次项系数构成的向量n?(A,B,C)是该平面的一个法向量。
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例4 求经过y轴与点(?1,2,4)的平面方程。 解 设所求平面的一般方程为Ax?By?Cz?D?0。
因为平面经过y轴，从而平面经过原点，即点O(0,0,0)满足平面方程，所以D?0。 由于y轴在平面上，则平面的法向量n?(A,B,C)垂直于向量j?(0,1,0)，所以n?j?0， 从而B?0。
又因为平面经过点(?1,2,4)，所以?A?4C?0，即A?4C。 故所求的平面方程为 4x?z?0
3、几种特殊位置平面的方程 （1）通过原点
其平面方程的一般形式为：
Ax+By+Cz=0 （2）平行于坐标轴
平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. 平行于y轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz+D=0. 平行于z轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0. （3）通过坐标轴
通过x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz=0
通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz=0，Ax+By=0 （4）垂直于坐标轴
垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0. （3）平面的截距式方程
设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)（其中abc?0， 求该平面的方程。
解 把点P,Q,R的坐标分别代入平面的一般方程，有
?Aa?D?0??Bb?D?0?Cc?D?0 ?
由此得，
A??Da，
B??Db，
C??Dc
代入平面的一般方程得
图7-15
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?Dax?Dby?Dcz?D?0
xyzD(??)?D即 abc
由题设可知，平面不经过原点，所以D?0，于是所求平面的方程为
x a?yb?zc?1
我们把该方程叫做平面的截距式方程，其中的a,b,c分别叫做该平面在x,y,z轴上的截距（如图7-15）。
三、本节小结：
空间曲面方程的概念；平面方程的三种形式；
四、课外作业： 1。课堂练习
（1）求过点(2,1,?1)且法向量为a?i?2j?3k的平面方程. （2）求过点(1,?2,3)且与平面7x?3y?z?6平行的平面方程. （3）已知点A(2,?1,2),B(8,?7,5)，求过点B且垂直于AB的平面方程. （4）指出下列各平面的位置特点，并画出各平面.
(1)y?0(3)x?2y?3(2)z?1(4)x?2y?0(5)3x?2y?z?0 (6)x?y?z?3
（5）写出满足所给条件的平面方程. (1)过点A(1,?2,4)），垂直于x轴. (2)过点A(?3,1,?2)，垂直于z轴. (3)过点A(4,0,?2),B(5,1,7)，平行于y轴. 2。课外作业
（1）已知一个平面过点A(0,0,1)，平面上有向量
a??2,1,1?, b??1,0,0?求此平面方程.
（2）一平面通过三点：A(1,?1,0),B(2,3,?1)C(?1,0,2)，求此平面的方程.
(3)求过点A(1,1,1)，且同时垂直于平面x?z?7?0及3x?2y?12z?5?0的平面方程.
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