故
?? ax?acosa?2cos?2 4?? ay?acos??2cos?0
2 az?acos??2?2?2, 2?所以，向量a的坐标表示为
? a?(2,0, 2)????????? 例 6 设向量a??i?2j?k,b??j??k问数?,?为何值时，a与b平行。 ?? 解 因为，a//b故由（10）式，得
即
??0,所以
??0,???0?2?1?, ?1?2?1?, ?1?1, 2
三、本节小结：
向量的坐标表示法，坐标向量的模、方向角 四、课外作业：
??????1．已知向量a?(6,1,?1)，b?(1,2,0)，求：（1）向量c?a?2b；（2）向量c的方
向余弦及与它平行的单位向量。
???????????????2．设向量a?2i?j?3k,b?i?2j?2k,c?5i?3j?k,求向量d?a?2b?2c在
x轴和y轴上的投影及在z轴的分向量。
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己授班级：（1） 时间：（1） （2） （2）
第七章 向量代数与空间解析几何（7，8）
陈建英 上饶职业技术学院
第二节 向量的乘法运算（1、2）
教学目的：掌握向量的数量积的定义及其几何意义，会用平面向量数量积的性质在坐标表示
向量下进行向量数量积的运算。 教学重点与难点：向量数量积的定义和性质；难点是向量数量积的坐标运算 教学形式：课堂内的讲授法与演示法 教学时间：90分钟 教学过程 一、复习：
前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。并且这种运算与实数的运算有了很大的区别。 二、 导入新课：
1．力做的功：W = |F|?|s|cos?是F与s的夹角（如图）
2．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a?b = |a||b|cos?， 并规定0与任何向量的数量积为0。 3．向量夹角的概念：范围0≤?≤?? 4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1???e?a = a?e =|a|cos? 2????a?b ? a?b= 0
3????当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b= ?|a||b|。
特别的a?a = |a|
a?bab2
4???cos? =
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5????|a?b| ≤ |a||b|?
5．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1??两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定。
2??????两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3??在实数中，若a?0，且ab=0，则b=0；但是在向量数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0。因为其中cos?有可能为0。这就得性质2。
4??已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc 且a=c。但是a?b= b?c 且a = c 如图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA| a?b= |b||c|cos? = |b||OA|
ab=bc 但a ?c
5? 在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 5．例题、已知a?b = —2，|a|=1， |b|=4，求 解： 略 三、投影的概念： 1．“投影”的概念：作图
?a,b?
??定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影，记作 ???a,b?
??b?Prja ??Prjba????bcos?a,b???? acos?a,b????????a?aPr?b ja所以有 a?b?bPrjb 注意：1???投影也是一个数量，不是向量。 2????当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值；
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当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|。 2．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。
3．基本性质: 向量的数量积满足以下运算规律：对于任意的向量a,b,c及实数?有
（1）?对称性 （2）?线性之一a?b?b? a(?a)?b??(a?b)?a?(?b)；
（3）?线性之二 （4）?正定性(a?c)?b?a?b?c?b
a?a?a2?0,等号成立当且仅当 a?0时取等号；
???a,b?例：已知|a|=4， |b|=5,= 30??求a?b, (3a?2b)?b；a?b；
（解略）
???????2例： 已知?a,b???，a?3,b?4求向量c?3a?2b的模。
3解： 根据数量积的定义和性质，有
?2?????? c?c?c?(3a?2b)?(3a?2b)
?????? ?(3a?2b)?(3a)?(3a?2b)?(2b)
????????? ?9a?a?6b?a?6a?b?4b?b
?2?????2=9a?12abcos?a,b??4b
?9?3?12?3?4cos??4?4 ?81?72?64?73, 所以
2232? c?73
四、用向量的坐标来表示数量积。
????????设a?axi?ayj?azk,b?bxi?byj?bzk，利用数量的运算性质，可得
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????????a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk)
???????????? ?(axi?ayj?azk)(bxi)?(axi?ayj?azk)(byj)?(axi?ayj?azk)(bzk) ???????? = axbx(i?i)?aybx(j?i)?azbx(k?i)?axby(i?j)?
?????????? ayby(j?j)?azby(k?j)?axbz(i?k)?aybz(j?k)?azbz(k?k)
因为是两两互相垂直的单位向量，故有
i?i?i?1, j?j?j?1, k?k?k?1
???2???2???2???????????? i?j?j?i?0, i?k?k?i?0, j?k?k?j?0
所以
?? a?b?axbx?ayby?azbz （3）
（3）式称为数量的坐标表示式。
??（3）式又能得到两个非零向量a和b的夹角的余弦的坐标表示式
当a?b时，由此式还可得到向量a的模的坐标表示式：
a?a2?a?a?x12?y12?z12 对于非零向量a与b，从数量积的定义，我们还可以求出它们夹角余弦的坐标表示式：
cos?(a,b)?
a?bab?x1x2?y1y2?z1z2x12?y12?z12x22?y22?z22 (9.4) 我们把任一向量a与基本单位向量i,j,k的夹角?,?,?称为向量a的方向角，而
cos?,cos?,cos?称为a的方向余弦。于是向量a的方向余弦的坐标表示式为：
?x1a?i??cos??ax12?y12?z12??y1a?j???cos??ax12?y12?z12??z1?cos??a?k?a?x12?y12?z12? 显然 cos??cos??cos??1
例 已知三点A（-1，2，3），B（1，1，1）C（0，0，5），求?ABC。
222???????????????? 解 作向量BA , BC则BA与BC的夹角就是?ABC
因为
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