涟水银杏教师联盟精品教案系列
第12讲：余弦定理
一、 必备基本知识
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2，cosC?1、 定理内容：cosA?，cosB?
2bc2ac2ab2、 在决定三角形形状方面的作用：
?ABC是锐角三角形?a2?b2?c2设?ABC中，c是最大边，?ABC是直角三角形?a?b?c
222?ABC是钝角三角形?a2?b2?c23、 可能的应用：
（1） 求未知的边和角 （2）判断三角形的形状
二、 典型例题解析
，A?60，求a；1、在?ABC中，（1）b?3，c?1（2）a?31，b?5，c?6，求A
2、在?ABC中，a?3，b?5，c?7，求最大角 3、在?ABC中，a?b?ab?c，求C
4、在?ABC中，a?bcosA?b?acosB，则?ABC是什么三角形？
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三、 必要习题巩固
1、 在?ABC中，如果sinA?sin??sinC=3?5?7，求角C 2、 在?ABC中，a?7，b?43，c?13，求最小角 3、 在边长为5、7、8的三角形中，求最大角和最小角的和 4、 在?ABC中，如果(a?b?c)(a?b?c)?3ab，求角C
12(a?b2?c2)，求角C 46、 在?ABC中，sinA?2sinBcosC，则?ABC是什么三角形？
5、 在?ABC中，S??7、 在?ABC中，S??123，ac?48，a?c?2，求边b 8、 已知?ABC的周长是2?1，且sinA?sinB?2sinC， （1）求边AB； （2）若S??1sinC，求角C的大小 6?，S?ABC?3，则9、在?ABC中，A?60，b?110、在?ABC中，若
a?b?c?
sinA?sinB?sinC113??，则角C? a?cb?ca?b?c11、在?ABC中，已知a2?b2?c2?bc，2b?3c，a?319，则S?ABC? 12、在?ABC中，若sinA?13，sinB?，则a?b?c? 22??13、在?ABC中，BC?12，A?60，B?45，则AC?
cosC?14、在?ABC中，a?7，b?8，13，则此三角形的最大内角的余弦值为 1415、在?ABC中，sinA?sinB?sinC?5?7?8，则B? 16、在锐角?ABC中，若C?2B，则的范围是： 17、在?ABC中，c?2，C?cb?3，（1）若S?ABC?3，求a与b；
（2）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求S?ABC的值 18、在?ABC中，cosA?42B?C?cos2A的值； ，（1）求sin52（2）若b?2，S?ABC?3，求a
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第13讲：平面向量的坐标运算
一、 必备基本知识
????1、设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由点A、B产生的向量AB?B?A?(x2?x1，y2?y1)，??????????2222且AB?(x2?x1)?(y2?y1)，称为AB的模。若a=(m，n)，则a?m?n。 ??2、向量的四则运算公式：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)
则a?b?(x1?x2，y1?y2)（加法）
???? a?b?(x1?x2，y1?y2)（减法） ? k?a?k(x1，y1)?(kx1，ky1)（数乘）
a?b?x1x2?y1y2（数量积）
????????3、向量的数量积：设a与b的夹角是?（同起点），则a?b?a?b?cos?
规定：（1）a与b同向的时候，记a与b的夹角是0；a与b反向的时候，记a与b的
??????????2?2夹角是180，所以，a?(a)；
????????（2）a与b垂直的时候，记a与b的夹角是90；所以，一般来说，0???180。
4、向量相关的零碎知识：平行向量与共线向量、零向量和单位向量、相同向量和相反向量。特别的，0和任何向量共线 5、平行与垂直的等价条件：
?????xy?kb?1?1 （1）a∥b?ax2y2???? （2）a⊥b?a?b?0?x1x2?y1y2?0
6、一类特殊问题（夹角问题）的处理方法：保证条件，剔除平行，也可以考虑用数形结合．．．．．．．．．的思想来处理，参例题。
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二、 典型例题解析
??????1、已知a?(k，（1）a∥b；（2）a⊥b； 2)，b?(?3，5)，当k为何值时：
??（3）a与b的夹角是锐角
??????????2、若a?4，b?6，且a与b的夹角是60，求：（1）a?b；（2）a?(a?b)；
????（3）(2a?b)?a?3b
???????????b?4，且a与b的夹角是150，求a?b和a?b 3、已知a?3，????????4、已知a?b?1，且3a?2b?3，求a?b和3a+b
??????????5、已知a与b是非零向量，且(a?3b)?(7a?5b)，(a?4b)?(7a?2b)，
??求a与b的夹角
6、已知a?(3，?1)，b?(，)
??1322??（1）求证：a⊥b
??????????2k（2）若x?a?(t?3)b，y??ka?tb，问是否存在非零实数与t使得x⊥y，若存在的
k?t2话求出k与t的值或关系，并分析的最小值。
t
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三、 必要习题巩固
????1、已知a?(?21)，，b?(k，?1)，当k为何值时，a与b的夹角是钝角？
2、已知a?(6，2)，（1）a∥b；（2）a⊥b； b?(?3，k)，当k为何值时：
????????（3）a与b的夹角是钝角。
3、已知a?(3sin?，cos?)，b?(2sin?，5sin??4cos?)，且求：（1）tan?；（2）cos(????3????2?，若a⊥b， 2?) 23?????3A3A?AA，sin)，n?(cos，sin)，且满足m+n?3 4、在?ABC中，已知m?(cos2222（1）求角A的大小；（2）若b?c?3a，试判断?ABC的形状
??5、在?ABC中，
sinA3cosC ?ac????????a?b?6（1）求角C的大小；（2）若，CA?CB=4，求c的值
???6、已知a?(sin?，1)，b?(cos?，2)，??(0，)
4????17?（1）若a∥b，求tan?的值；（2）若a?b?，求sin(2??)的值
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