在分析计算交流电时，常常涉及到相位差的概念，即两个同频率的正弦交流量的初相角之差。如图1—29所示，如某正弦交流电流为；i1?I1msin(?t??i1)，另一正弦交 流电流；i2?I2msin(?t??i2)，那么它们的相位差为
???i1??i2
若??0,?i1??i2这种情况称为电流
i1与电流i2同相位。
若??180?，则电流i1达到正最大值
时，电流i2恰好达到负最大值，这种情况称为反相位。
若???i1??i2＞0称i1超前i2；若???i1??i2＜0，称i1滞后i2。
初相角和相位差是交流电路中十分重要的概念，是研究交流电路的重要参数。为了能清楚地说明两个同频率正弦量在相位上超前或滞后的关系。一般规定相位差绝对值小于180°。
例1—13 试作出uR?URmsin?t，iR?IRmsin?t、uL?ULmsin(?t?90?)和
uC?UCmsin(?t?90?)的波形图，并说明其相
位关系。
解 以横轴为?t按一定比例标出?/2、?、3?/2、2?等，纵轴代表u、i等，分别作出uR、iR、uL、uC的波形图，如图1—30所示。
因为iR的初相角为零，故选它为参考正弦量，其他正弦量的初相角就是与参考正弦量的相位差。
?1??iR??uR?0，即uR与iR同相；
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?2??iR??uL??90?，即uL超前iR ?/2； ?3??iR??uC?90?，即uC滞后；iR ?/2。
如前所述，超前或滞后的角度绝对值不超过180°，例如：超前20°，不能用滞后340°来表示。
二、正弦交流电的有效值
交流电的大小是随时间变化的，计算时很不方便，因此工程上常以交流电的有效值来表示正弦量的大小。 有效值是这样定义的：一交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和一直流电流I通过同一个电阻R在相同时间内所产生的热量相等时，则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值。正弦交流电的有效值用大写字母表示，如电流、电压和电动势的有效值可分别表示为I、U、E。根据上述对有效值的定义，并通过分析和数学推导，可求得正弦交流电有效值与最大值之间的关系分别为
1?Im?0.707Im?2?1? U?Um?0.707Um? (1—27)
2??1E?Em?0.707Em?2?I? 有效值是工程上普遍使用的一个参数。交流电压表、交流电流表所测得的数值，就
是交流电压或电流的有效值。引入有效值后，正弦电压、电流和电动势瞬时值的函数表达式为
i?2Isin(?t??i)??? u?2Usin(?t??u)? (1—28)
?e?2Esin(?t??e)??三、正弦交流电的三种表示法
表示一个正弦交流量的关键是反映出最大值、频率和初相角三个要素。通常用三种
方法来表示。 1．解析法
用三角函数式表示正弦交流电随时间变化关系的方法称为解析法。如前所述，正弦交流电压、电流、电动势用解析法表示为
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i?2Isin(?t??i)??? u?2Usin(?t??u)?
?e?2Esin(?t??e)?? 2．曲线法
在平面直角坐标中，根据解析式作出的曲线，称为正弦交流电的波形图。此方法叫曲线法。
例1—14 已知i1?I1msin(?t?45?)，i2?I2msin(?t?30?)，求i1和i2的波形图和
i1+i2的波形图。
解 先作出i1和i2的波形图，然后把两个波形在每一瞬时所相应的纵座标值相加，即可画出合成电流i?i1?i2的波形图，如图1—31所示。
这种方法既复杂也不够准确，一般情况下不采用。用解析法来计算，有时也显得繁杂麻烦。 为了形象地表示正弦交流量，使正弦交流量的加减计算更加简便，常采用旋转相量法。
3．旋转相量法 一根有大小、有方向的线段，在直角座标系中绕原点以角速度。不断地作逆时针方向旋转，这根线段就称之为相量。用相量来表示正弦交流量的方法被称为旋转相量法。
旋转相量能形象地奉达一个正弦交流量。如图1—32所示，有一旋转相量，初相角为?，此时(t0)该相量在纵座标上的投影为i0。若相量以?的角速度向逆时针方向旋转，t1瞬时相量在纵座标上的投影为i1，t2瞬时相量在纵座标上的投影为i2。用三角学的运算法则可不难求出，相量在纵座标上的投影以i1为例可以
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表示为i1?Imsin(?t1??)。
这表明对应每个瞬时相量在纵座标上的投影即为该正弦交流量的瞬时值。如将此投影值(即瞬时值)与对应的时刻t(或对应的电角度?t)展开画成一根曲线，就得到相量所代表的正弦交流量，?为初相角，对应t2瞬时的瞬时值i2即为最大值Im，相量旋转的角速度即为该正弦交流量的角频率?。
由相量构成的图形称为相量图。同频率的正弦交流量相量可画在同一张图上。图l—33所示即为下列解析法表达式所示交流量的相量图
u?2202sin?tV
i?102sin(?t?30?)A
旋转相量图的优点是显而易见的，它可以非常简明地表达正弦量的大小和相位关系；特别是同频率正弦量相加或相减时，由于它们的相位差始终保持不变，因此可很方便地采取相量求和差的方法进行，这在交流电路的分析中是非常有用和方便的。
例l—15 试用旋转相量图表示下列交流量：i1?10sin(314t?30?)A，
i2?15sin(314t?60?)A，i3?20sin(314t?90?)A。
解 因为i1、i2、i3电流的频率相同，可画在同一相量图上。分别选择相量长度为10A、15A、20A。画出其相量图如图1—34所示。
例1—16 已知电流i1、i2、i3同上题，试求i?i1?i2?i3的解析表达式。
解 根据旋转相量表示法，先画出i1、i2、
i3的相量图，然后用平行四边形法则求解。
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得到新合成相量I?I1?I2?I3，如图1—35所示。 测量合成相量的长度，得其最大值Im?32.3A。测合成相量I与横轴正向夹角，得其初相角???60?。所以 i?32.3sin(314t?60?)A
例1—17 设已知交流电流，i1?20sin(314t?60?)A，
i2?10sin(?t?30?)A，求i?i1?i2的解析表达式。
解 先分别画出代表电流i1、i2的相量I1m、I2m，如图1—36所示。然后依平行四边形法则求I1m和I1m的相量和得合成相量Im，如图1—36所示。
显然，合成相量的大小和方向，可从直角三角形OXY中分析得到：
22 数值： Im?OX?OY 相位角： ??arctgOY OX其中 OX?OX1?OX2?I1mcos?1?I2mcos?2?20?0.5?10?0.866?18.6A OY?OY1?OY2?I1msin?1?I2msin?2?20?0.866?10?0.566?12.3A
2222所以 Im?OX?OY?18.6?12.3?22.3A
??arctgOY12.3?arctg?arctg0.66?33?47' OX18.6? i?22.3sin(?t?3347')A
以后在分析交流电路时，常以交流量的有效值为相量的长度画相量图，以便于分析
各电量的相位关系。但这种相量在纵轴上的投影不再表示交流量的瞬时值。
四、单相交流电路
电阻R、电感线圈L、电容器C是交流电路中的基本电路元件，它们的电阻、电感。
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