第9章 重积分
重积分是定积分概念的推广，其被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个有界闭区域，两者虽然形式不同，但本质都是一种和式的极限．本章主要介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法以及它们在几何和物理方面的一些应用．
§1 二重积分的概念及性质
一、两个实例
1.曲顶柱体的体积
所谓曲顶柱体是指以xOy面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面z?f?x,y?(其中f?x,y?是D上的非负连续函数)为顶的这样一种立体?(如图9-1)．
下面运用第5章中计算曲边梯形面积的思想来计算上述曲顶柱体
(1)分割：将曲顶柱体?分割成若干小曲顶柱体 将闭区域D任意分割成n个小闭区域??i，??i同时也表示第i个小区域的面积．以每个小区域??i(i?1,2,?,n)的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将曲顶柱体分成n个小曲顶柱体(如图9-2),设其体积为?Vi(i?1,2,?,n),则曲顶柱体体积
n的体积.现将具体计算过程阐述如下:
V???Vi?1i．
(2)近似：用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积 在每个小区域??i内任取一点??i,?i?,以??i为底，
f(?i,?i)(i?1,2,?,n)为高的小平顶柱体的体积作为相应小曲顶
柱体体积的近似值，即
?Vi?f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)．
(3)求和：用n个小平顶柱体的体积和作为曲顶柱体体积V的近似值
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nniV???Vi?1??i?1f(?i,?i)??i．
(4)取极限
当对区域D的分割无限变细，即当各个小闭区域??i(i?1,2,?,n)的直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值)中的最大值?趋于零时，取上式和式的极限，便可得到所求曲顶柱体的体积
nniV???Vi?1?lim??0?i?1f(?i,?i)??i．
2.平面薄板的质量
设一平面薄板占有xOy面上有界闭区域D，它在点?x,y?处的面密度??x,y?为D上的非负连续函数，求该薄板的质量m．
如果薄板是均匀的，即面密度是常数，则薄板质量为
m?面密度?薄板面积，
而此薄板面密度??x,y?是变量，故不能用上面公式计算此薄板质量．类似于上面求曲顶柱体体积的方法，下面来计算薄板的质量m．
(1)分割 如图9-3，将闭区域D任意分割成n个小闭区域??i，??i同时也表示第i个小区域的面积(i?1,2,?,n)．设第i个小区域
的质量为?mi(i?1,2,?,n)，于是
nm???mi?1i．
(2)近似
由于??x,y?连续,小区域上面密度变化很小，可近似地看作是均匀的，于是在??i内任取一点??i,?i?(i?1,2,?,n)，有
?mi????i,?i???i?i?1,?,n?．
(3)求和
将这n个近似值相加，便得到整个平面薄板质量的近似值，即
nm???(?i?1i,?i)??i．
(4)取极限
当n个小区域的最大直径??0时，上述和式的极限就是所求薄板的质量，即
nnim???mi?1?lim??0??(?,?ii?1i)??i．
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上面两个实例，一个是几何问题，一个是物理问题．虽然两个问题的实际意义不同，但是解决这两个问题的思想方法都是相同的，结果都归结为计算同一形式和式的极限．抛开上述两个问题的具体意义，可抽象出下述二重积分的定义．
二、二重积分的定义
定义1 设函数f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n个小闭区域
??i，并用??i表示第i个小区域的面积(i?1,2,?,n)．在每个小闭区域??i内任取一
n点??i,?i?，作乘积f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n),并求和?f(?i,?i)??i.如果当各小闭区
i?1域的直径中的最大值?趋于零时，此和式极限存在，且与区域D的分法和点??i,?i?的取法无关，则称f(x,y)D上可积，并称此极限值为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分， 记作??f?x,y?d?，即
Dn??f?x,y?d?D?lim??0?i?1f(?i,?i)??i
其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d?称为被积表达式，x，y称为积分变量，d?称为面积微元，D称为积分区域．
在上述定义中对闭区域D的分割是任意的，如果f(x,y)在D上可积，那么为方便计算，我们可取特殊的分割．例如在直角坐标系中，可用平行于坐标轴的直线来分割区域D，此时除了包含D边界的一些小区域外，其余的小区域都是矩形区域，且小矩形区域的面积为??i??xi?yi．因此在直角坐标系中，常将二重积分的面积元素写成d?=dxdy，二重积分常可以写为
??f?x,y?d?D???f?x,y?dxdy．
D利用上述定义，前面所讨论的两个实例可分别如下表示： (1)曲顶柱体的体积是曲面z?f(x,y)V??f(x,y)?0?在底D上的二重积分，即
．
??f?x,y?d?D(2)平面薄板的质量是其面密度??x,y?在薄板所占闭区域D上的二重积分，即
m?????x,y?d?D．
与定积分类似，下面不加证明地给出二重积分存在的两个充分条件．
定理1 若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在区域D上可积． 定理2 若函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，且分片连续（即可把D分成有限个
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子区域，使f(x,y)在每个子区域上都连续），则f(x,y)在区域D上可积．
三、二重积分的几何意义
设函数f(x,y)连续，则
(1) 当f(x,y)?0时，二重积分??f?x,y?d?表示的是以曲面z?f(x,y)为顶，以
D区域D为底的曲顶柱体的体积V，即
??f?x,y?d?D?V；
(2) 当f(x,y)?0时，曲顶柱体在xOy面下方，此时??f?x,y?d?表示的是曲顶柱
D体体积V的负值，即
??f?x,y?d?D??V；
(3) 当f(x,y)有正有负时，??f?x,y?d?表示区域D上在xOy面上方的曲顶柱体体
D积V1与xOy面下方的曲顶柱体体积V2之差，即
??f?x,y?d?D?V1?V2．
例1 利用二重积分的几何意义,计算二重积分I?D???DR?x?yd?，其中区域
222??x,y?x2?y?R22?．
R?x?y是半径为R的上半球面,积分区域D是半径为
23222解 被积函数f?x,y??R的圆,所以由二重积分的几何意义可知，所求二重积分为上半球体的体积，即
I???DR?x?yd??222?R．
3四、二重积分的性质
二重积分具有与定积分类似的性质，下面假定所讨论的函数在相应积分区域上均可积．
性质1 两个函数和(或差)的二重积分等于它们二重积分的和(或差)，即
?f?x,y??g?x,y???d????D???f?x,y?d????g?x,y?d?DD．
性质2 被积函数的常数因子可以提到二重积分的符号外面,即对任意常数k，有
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??kf?x,y?d?D?k??f?x,y?d?．
D性质1和性质2称为二重积分的线性性质，且对任意常数k1,k2,?,kn，有
?kf?x,y??k???11D2f2?x,y????knfn?x,y???d?
?k1??f1?x,y?d??k2??f2?x,y?d????kn??fn?x,y?d?．
DDD性质3 若被积函数f(x,y)?1,则
??1?d?D???d?D??，
其中?为区域D的面积．
该性质的几何意义是很明显的,即高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．
性质4(积分区域可加性) 若积分区域D被一条曲线分成两个闭区域D1和D2，则有
??f?x,y?d?D???f?x,y?d????g?x,y?d?D1D2．
这一性质可推广到将D分割成有限个区域Di?i?1,2,?,n?上去，即
??f?x,y?d?D???f?x,y?d????g?x,y?d?D1D2?????g?x,y?d?Dn．
性质5(二重积分保号性) 若f(x,y)?0?x,y??D，则
??f?x,y?d?D?0．
推论1 若在区域D上f(x,y)?g?x,y?，则
??f?x,y?d????g?x,y?d?DD．
推论2
??f?x,y?d?D???f?x,y?d?D．
性质6(二重积分估值定理) 设M及m分别是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值与最小值，?为区域D的面积，则
m????f?x,y?d?D?M?．
?为区域D的面积，性质7(二重积分中值定理) 设函数f?x,y?在闭区域D上连续，
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