一般地，当被积函数与x，y无关或??f?x,y,z?dxdy容易计算时，采用先二后一法
Dz较方便．
三、柱面坐标系下三重积分的计算
1．柱面坐标的概念
设M?x,y,z?为空间直角坐标系中的一点，它在xOy面上的投影P的极坐标为
??,??(如图9-31)，则称点??,?,z?为点M的柱面坐标．显然直角坐标与柱面坐标的关
系为
???x2?y2,?,??x??cosy???及,?tan??, ?y??sinx??z?z,?z?z.??其中?,?,z的取值范围分别为
0?????,0???2?,???z???．
柱面坐标系中的三组坐标面为
??常数，是以z轴为中心的圆柱面；
??常数，是过z轴的半平面；
z?常数，是与xOy面平行的平面．
2．计算方法
下面推导三重积分???f?x,y,z?dv在柱面坐标系下的表达式．为此，需将被积函数
?f?x,y,z?、积分区域?及体积微元dv都用柱面坐标来表示．为
了得到柱面坐标系下的体积微元dv，我们用柱面坐标系的三组坐标面??常数，??常数，z?常数去分割积分区域?．设??是半径为?和??d?的圆柱面与极角为?和??d?的半平面，以及高度为z和z?dz的平面所围成的高为dz的小柱体，该小柱体的底面积可近似地看成以d?和?d?为邻边的小矩形的面积(如图9-32)，因此柱面坐标系下体积微元为
dv??d?d?dz．
于是将直角坐标系下的三重积分变换为柱面坐标系下的三重积分公式为
???f?x,y,z?dv????f??cos?,?sin?,z??d?d?dz，
???其中??，f??cos?,?sin?,z?分别为积分区域?，被积函数f?x,y,z?在柱面坐标系下
145
的表达式．
柱面坐标系下三重积分的计算同样可化为三次积分来计算，化为三次积分时积分限是根据?,?,z在积分区域?中的变化范围来确定的．下面通过例子说明．
例4 计算???zx2?y2dv，其中?是由x2?y2?2x及z?0,z?a?a?0?,y?0所
?围成的半圆柱体．
解 积分区域?如图9-33所示，?在xOy面上的投影 区域是半圆D?下的表达式为
??,0?? D?????,??0???2cos????x,y?x2?y?2x,y?0，它在极坐标系
2????．
2?因此?可表示为
?????????,?,z?0?z?a,0???2cos?,0????．
2??于是
???z?x?yd??22???z????2d?d?dz
??a20d???2co?s0?d??zdz
02a2 ?2?20d??2cos?0?d??224a32??220cos?d??2389a．
2例5 计算???zdv，其中?是由曲面z??2?x?y及z?x?y所围成的区域．
2解 积分区域?如图9-34所示，由方程组
22??z?2?x?y, ?22z?x?y.??消去z得?在xOy面上的投影为半径为1的圆域
D???x,y?x22?y?1，它在极坐标系下的表达式
2?为D?????,??0???1,0???2??．而上半球面
z?146
2?x?y的柱面坐标方程为z?22??，抛物面z?x?y的的柱面坐标方程
222为z??2，因此?可表示为???于是
???,?,z????2?z?2??,0???1,0???2?.
2????zdv????z?d?d?dz
? ??2?0d?10?10?d???2?2?2zdz
?2??12??2????24?d??712?．
一般地，若积分区域?在坐标面上的投影区域为圆域，环形区域，扇形区域，而被积 函数f?x,y,z?具有zf?x2?y2?，zf??y??或yf?x??x?z22?，yf??z??或xf?x??y2?z2?，
?z?xf??等形式时，利用柱面坐标系计算三重积分常常能简化运算． ?y?四、球面坐标系下三重积分的计算
1．球面坐标的概念
如图9-35，设空间中一点M?x,y,z?在xOy面上的投影点为P．记点M与坐标原点
??????????之间的距离OM?r，记z轴正向与向量OM的夹角为?，记x轴正向按逆时针方向旋
????转到OP的夹角为?，则称点?r,?,??为点M的球面坐标．显然点M的直角坐标?x,y,z?与球面坐标?r,?,??的关系为
??222r?x?y?z,?x?rsin?cos?,??y?y?rsin?sin?,tan??,及 ??x?z?rcos?,??z?cos??.?222x?y?z?其中r,?,z的取值范围分别为
0?r???,0????,0???2?．
球面坐标系中的三组坐标面为
r?常数，是以原点为中心的球面；
??常数，是以原点为顶点，z轴为中心轴的圆锥面；
??常数，是过z轴的半平面．
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2．计算方法
类似于柱面坐标系中的讨论，下面主要讨论球面坐标系中的体积元素的表达式．为此，我们用上述三组坐标面r?常数，??常数，??常数来分割空间区域?．设??是由球面r和r??r，半平面?和????，锥面?和????所围成的一个曲面六面体(如图9-36)．当分割越来越细时，可近似地看作边长分别为?r,r??,rsin???的长方体，因此球面坐标系下的体积微元为
dv?rsin?drd?d?．
2于是将直角坐标系下的三重积分变换为球面坐标系下的三重积分公式为
???f?x,y,z?dv????f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r???2sin?drd?d?，
其中??，f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??分别为积分区域?，被积函数f?x,y,z?在球面坐标系下的表达式．
当然，上式等式右端的三重积分也要化为三次积分来计算，化为三次积分时积分限应根据r,?,?在积分区域?中的变化范围来确定．
若原点在积分区域?内，且?的边界曲面在球面坐标系中的方程为r?r??,??，则
?????r,?,??0??2?0?2?,0????,0?r?r??,???，
2于是
????f?x,y,z?dv??d??d??0?r??,??0f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??rsin?dr．
当积分区域?是球心在原点，半径为R的球面r?R所围成时，则
????f?x,y,z?dv??2?0d??d??0?R0f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??rsin?dr．
2特别地，若?是由球面r?R所围成且f?x,y,z??1时，则得球体的体积公式为
V?148
???dv???2?0d??d??rsin?dr?00?R243?R．
3例6 计算????1x?y?z222其中?是由锥面z?dv，22x?y和平面z?1所围成的
闭区域．
解 积分区域?如图9-37所示，在球面坐标系下?的边界方程z?分别变为???422x?y和z?1
和r?1cos?．因此?在球面坐标系中可表示为
?0???2?,0???,0?r??．
4cos????????r,?,????1于是所求三重积分为
????1x?y?z222dv????r??12?rsin?drd?d?
??2?0?d???440d??1c?os0 rsi?nrd ?2???0sin?112cos?2d?
? ???40cos??42d?co?s?
?1? ?????cos???0?2?1?．
?一般地，若被积函数具有f?x2?y2?z2?的形式或积分区域的形状为球体、锥体或其一部分时，三重积分就宜采用球面坐标进行计算．
习题 9-3
1．设有一物体占有空间闭区域????x,y,z?0?x?1,0?y?1,0?z?1?，在点
?x,y,z?处的密度??x,y,z????x?y?z，计算该物体的质量．
1??； 2?2．利用直角坐标计算下列三重积分：
(1)???xydv，其中????x,y,z?1?x?2,?2?y?1,0?z??(2)????1?1?x?y?z?3dv，其中?由三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的闭区
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