??f?x,y?d?D???f??D?co?s?, (6) ?sin??d．d??2、极坐标系下二重积分化为累次积分
极坐标系中的二重积分，同样可以化为累次积分来计算，且积分次序一般是先对r后对?积分．下面按积分区域D的三种情形来讨论二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算．
(1) 极点O在积分区域D的外部
如图9-17，区域D由射线???,????????，连续曲线???1???和???2???
???????????所围成，此时
21D????,???1???????2???,???2???????，
?则
??f??cos?,?sin???d?d????Dd???1???f??cos?,?sin???d?．
(2) 极点O在积分区域D的内部
设区域D的边界曲线方程为??????(如图9-18a)，或极点在区域D的内边界内(如图9-18b)，此时
D????,??0???????,0???2?
?或
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D????,???1???????2???,0??2?0?2?．
?于是
??Df??cos?,?sin???d?d???d??????0f??cos?,?sin???d?．
或
??f??cos?,?sin???d?d???D2?0d???2????1???f??cos?,?sin???d?．
(3) 极点O在积分区域D的边界上
如图9-19，设区域D的边界曲线为??????，此时
D????,??0???????,??????，
?于是
??f??cos?,?sin???d?d????Dd??????0f??cos?,?sin???d?．
通常，在下面两种情形下，往往运用上述公式将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的累次积分，这样可简化二重积分的计算:
(1)积分区域D是圆域、圆环、扇形、曲边扇形等； (2)被积函数含有表达式f?x2?y2?，f?22?x??y?f或 ??．??x??y?例6(续) 解 由于被积函数含有x?y，且积分区域为圆域，因此在极坐标系下来计算I的值，较为简便．如图9-20， 极点位于积分区域D内，且在极坐标变换下，圆域D?D?????,??0???1,0???2??，于是
??x,y?x2?y?1对应的区域
2? 131
I??????d?d??D?2?2?0d???d??01223?．
注 本题亦可利用二重积分的几何意义来计算，请读者思考． 例7 化累次积分I??10dx?1?x1?xf?x,y?dy为极坐标系下的累次积分．
解 本题的解题步骤与直角坐标系下改变积分次序的步骤相同．首先根据所给累次积 分的上下限写出积分区域D???x,y?1?x?y?1?x,0?x?1，并画出积分区域D
2?的图形(如图9-21) ，将区域D的边界曲线化为极坐标形式: 由
x?0，即?cos??0????2；
y?0，即?sin??0???0； y?1?x2???1；
y?1?x，即?sin??1??cos????1sin??cos?．
所以在极坐标系下区域D可表示为
?D?????,???1sin??cos????1,0??????． 2?再将被积函数和面积微元d?均化为极坐标形式，于是I在极坐标系下的表达式为
?I??20d??11sin??cos?f??cos?,?sin???d?．
例8 计算??D?1?1??2D?x,yx?y?1?x?yd?，其中???????．
2?4???22解 如图9-22，积分区域D是圆心在?0,??11?，半径为的 ?22?圆域．区域D在极坐标系下可表示为
D?????,??0???sin?,0?????．
于是
??D1?x?yd??22??D?1????d?d?
2132
???0d???sin?021????d?
??11?????320?232sin?0d? 1? ??1?30?cos??1?d??3?cos??3?23??1?d?
??1?2??1?2???4． ??????????3?32?3?32?39例9 (1)计算二重积分I???eD?x?y?22?dxdy，其中D???x,y?x2?y?R22?；
(2)利用(1)的结果计算广义积分?解 (1)因为积分区域D???0e?x2dx的值．
??x,y?x2?y?R22?关于原点对称，且被积函数e?x?y?22?
同时为x,y的偶函数，所以利用二重积分的对称性质有
I?4??eD1?x?y?22?dxdy，
其中
D1?????x,y?x??22?y?R,x?0,y?0．
22?在极坐标变换下，D1?????,?0???R,0???R???，于是 2?I?4?d??e00??2??d???1?e??R2?．
注 本题若不采用极坐标变换计算，而用直角坐标系下二重积分化为累次积分计算， 就会遇到计算?e关键的．
(2)如图9-23所示，构造三个积分区域:
D1??y2dy的问题，但我们不能把?e?y2dy表示为初等函数，因此在直角坐标
系下就无法计算此二重积分．由此可见，选择适当的坐标系对于简化二重积分的计算是很
??x,y?x2?y?R,x?0,y?0；
22?D2???x,y?0?x?R,0?y?R?；
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D3???x,y?x222?y?2R,x?0,y?0．
22?则D1?D2?D3，由于e?x?y??2?0，所以
??eD1?x?y?22?dxdy???eD2?x?y?2?dxdy???eD32?x?y?22?dxdy．
由于 又
??eD1?x?y?22?dxdy??4?1?e?R2?，??eD3?x?y?2?dxdy??4?21?e?2R2 ?，
??eD2?x?y?22?dxdy??R0e?x2dx??e0R?ydy???R0e?x2dx?，
2所以
??41?e?R2?????4??R0e?x2dx?2???41?e?2R2?，
令R???，上式两端趋于同一数值，由夹逼准则有
?2?*0e?x2dx?．
此例的结果是概率论中研究正态分布时会用到的一个重要的结论．
三、二重积分的一般换元法
由第五章我们知道，在计算某些定积分时，要对积分变量作代换，也称换元，将复杂形式的定积分转化为容易计算的定积分．同样，二重积分也有换元技巧，除了上面使用的极坐标变换之外，还可作一般的变量代换，其目的是使较复杂的被积函数和积分区域简化，使二重积分便于计算．下面不加证明地给出二重积分换元法的一般表示式．
定理1 设函数f?x,y?在有界闭区域D上连续，变换x?x?u,v?,y?y?u,v?将uOv平面上的闭区域D?一对一地变换到xOy平面上的区域D，函数x?x?u,v?,y?y?u,v?在区域D?上对u,v具有一阶连续偏导数，且在D?上雅可比行列式
?xJ???x,y???u,v???u?y?u?x?v?y?v?0，
则有
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