??f?x,y?d?D???D?f?,?y,?uv,???x?uv?Judv．d (*)
式(*)称为二重积分的换元公式．
注 若J只在D?内个别点上或在某一条曲线上为零，而其它点上不为零，则(*)式仍成立．在使用二重积分的换元公式时，选择的变换式x?x?u,v?,y?y?u,v?要遵守以下三条:
(1)要对u,v具有一阶连续偏导数，且雅可比行列式J?0； (2)要能够使被积函数尽可能简化，以便容易积分；
(3)要使以新变量表示的积分区域变得简单，从而使积分限容易确定． 将该定理应用于极坐标变换x??cos?,y??sin?，有
J???x,y????,?cos?sin???sin????cos???，
代入(*)式即得极坐标变换下的二重积分计算公式(6)，可见极坐标变换只是二重积分换元法的一种常用的特殊情形．
例10 计算??cosDy?xy?xdxdy，其中D是由x轴，y轴及直线x?y?1，x?y?2围
成的区域．
?u?y?x, 解 对给定的被积函数在直角坐标系中难以计算，故采用换元法，令?即
v?y?x,?u?v?x?,??2在此变换下，xOy平面上的区域D变为uOv平面上的区域D?(如图9-24)，?u?v?y?.??2其中D????u,v??v?u?v,1?v?2?，其雅可比行列式为
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J???x,y???u,v???121212??1212．
于是
??cosDy?xy?xdxdy???cosD?uv?v12dudv
?12?21dv?2ucosdu ?vv32sin1．
?sin1?vdv?1例11 求抛物线y2?x，y2?2x及双曲线xy?2，xy?3所围闭区域D的面积．
2?y,?u?解 积分区域D如图9-25所示，作变换?x则在此变换下，将积分区域D变换
?v?xy,?为uOv平面上的矩形区域D????u,v?1?u?2,2?v?3?，且利用雅可比行列式的性质 有
J???x,y???u,v??1??u,v???x,y???13yx2??13u?0．
所以所求面积A为
A???1dxdy?D??3uD?1dudv?1?332dv?211udu?13ln2．
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例12 计算??D22??xy??1?2?2dxdy，其中D???x,y?2?2?1?．
abab????x2y2解 作广义极坐标变换: ??x?a?cos?,则在该变换下，xOy平面上的区域D变为
?y?b?sin?,uOv平面上的区域D?????,??0???1,0???2??，且雅可比行列式
J???x,y?cos??a?sin????,???absin?b?cos??ab?．
其中J仅在??0时为零，所以
2??1?xy22?1??2ab?d?d?
Dab2dxdy???D? ??2?d??1001??2ab?d??23?ab．
习题 9-2
1．画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1)???x3?3x2y?y3?d?，其中D???x,y?0?x?1,0?y?1?；
D(2)??xyd?，其中D是由直线y?1，x?2及y?x围成的区域；
D(3)???2?x?y?d?，其中D是由直线y?x和y?x2围成的区域；
D2(4)??x其中D是由曲线xy?1及直线y?x，x?2围成的区域；
Dy2d?, (5)??e?y2d?，其中由直线y?x，y?1与y轴围成的区域；
D(6)??sinx2d?，其中D是由直线y?x，y?0和x?1围成的区域．
D2．改变下列累次积分的积分次序：
(1)?1dy?1f?x,y?dx； (2)?10dy?y0yyf?x,y?dx；
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(3)?dx?1f?x,y?dy； (4)I?1x2x?20dy?yf?x,y?dx；
2y(5)?dy?011?1?y02f?x,y?dx??112dy?2?y0f?x,y?dx；
(6)?0?2dx?2?x02f?x,y?dy??0dx?x2?x2f?x,y?dy．
3．利用二重积分的对称性，计算下列二重积分： (1)??xcos?x?y?d?，其中D?322D??x,y?x2?y?2y；
2?(2)??xyd?，其中D???x,y?x?y?1?；
D(3)???x?y?d?，其中D是由y?x，y?2x，y?1所围闭区域．
D4．利用极坐标变换，计算下列二重积分： (1)???1?x?y?d?，其中D?22D??x,y?x??x,y??2?y?1；
2?(2)??sinDx?yd?，其中D?222?x?y?4?222?；
(3)??y?D?x?y22?d?，其中D???x,y?x??x,y?x22?y?2x；
2?(4)??xyd?，其中D?D?y?a22?(a?0)；
2(5)??Dx?yx?y22d?，其中D???x,y?x?y?1,x22?y?1；
2?(6)??arctanDyxd?，其中D是由圆周x?y?4，x?y?1及直线y?0，y?x
22所围成的在第一象限内的闭区域．
5．化下列累次积分为极坐标形式的累次积分： (1)?dx?011?x02f?x2?y2?dy； (2)?10dx?3xx?y?f??dy； ?x?2(3)?dx?011?x0f?x,y?dy； (4)?0dx?01x?xf?x,y?dy；
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(5)?dx?024?x22x?x2f?x,y?dy； (6)?0dy?0f?x,y?dx．
11*6．利用适当的坐标变换，计算下列二重积分：
x?yx?y(1)??eDdxdy，其中D???x,y?x?y?1,x?0,y?0?；
222???x2y?xy??(2)???2?2?dxdy，其中D???x,y?2?2?1?．
ab?ab??D???*7．设D是由曲线xy?4，xy?8，xy3?5，xy3?15所围成的第一象限部分的闭
区域，求D的面积．
§3 三重积分
一、三重积分的概念
实例(空间立体的质量) 设有一质量分布不均匀的物体占有空间区域?，它在点
?x,y,z???处的密度为??x,y,z?，其中??x,y,z?是?的质量M．
上的非负连续函数，求该物体
类似于求平面薄片的质量，将区域?任意分割成n个小区域?Vi?i?1,2,?,n?，其中?Vi既表示第i个小区域，也表示第i个小区域的体积．在小立体?Vi上任取一点
??i,?i,?i?，显然小立体?Vi的质量?Mi近似地等于???i,?i,?i??Vi?i?1,2,?,n?，即
?Mi????i,?i,?i??Vi?i?1,2,?,n?．
于是，立体?的总质量的近似值为
nniM???Mi?1?????i?1i,?i,?i??Vi．
记??max?di?，其中di为?Vi?i?1,2,?,n?的直径(直径定义如前所述)，则当??0
1?i?n时，上述和式的极限就等于M的精确值，即
nM?lim??0????,?ii?1i,?i??Vi．
这正是三重积分的物理背景．由此可见，三重积分与二重积分的定义方式是一样的．因此，我们自然可将二重积分的定义推广得到三重积分的定义，只要把二重积分定义中的平面区域和面积等分别改为空间区域和体积等．下面给出三重积分的定义．
定义1 设三元函数f?x,y,z?是定义在空间有界闭区域?上的有界函数，将?任意 分割成n个小闭区域?Vi，且?Vi?i?1,2,?,n?也表示它的体积．在?Vi中任取一点
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