则在D上至少存在一点??,??，使得
??f?x,y?d?D?f??,???．
证 因为f?x,y?在D上连续，由最值定理知，f?x,y?在D上必存在最大值M和最小值m，由性质6有
m????f?x,y?d?D?M?．
再由介值定理知，至少存在一点??,???D，使得
1???f?x,y?d?D?f??,??．
即??f?x,y?d??f??,???．证毕．
D 这一性质的几何意义：在D上以曲面f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积，等于D上以某一点??,??的函数值f??,??为高的平顶柱体的体积．
例2 利用二重积分的性质，估计二重积分I?的值，其中D????x?y?5?d?D??x,y?x2?y?4．
2?解 如图9-4所示，当x2?y2?4时，?22?x?y?22， 所以
??22?54??I?22?54?．
???习题 9-1
1．利用二重积分定义证明:
(1)??d???(其中?为区域D的面积)；
D(2)??kf?x,y?d??k??f?x,y?d?(k为常数)．
DD2．利用二重积分的几何意义，计算下列二重积分：
(1)???1?x?y?d?，其中积分区域D是由直线x?y?1，x?0，y?0所围成的
D120
区域；
(2)??2d?，其中积分区域D???x,y?x?y?1,y?x?1,y?0?；
D22??xy??(3)??d?，其中积分区域D???x,y?2?2?1?．
ab??D??3．利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
(1)???x?y?d?与???x?y?d?，其中积分区域D是由直线x?y?1与x轴，y轴
DD23所围成的区域；
(2)???x?y?d?与???x?y?d?，其中积分区域D是由圆?x?2???y?1??2
DD2322所围成的区域；
(3)??ln?x?y?d?与??lnDD2?x?y?d?，其中积分区域D是以点?1,0?，?1,1?，?2,0?
为顶点的三角形闭区域；
(4)??ln?x?y?d?与??lnDD2?x?y?d?，其中积分区域D???x,y?3?x?5,0?y?1?．
4．利用二重积分的性质，估计下列二重积分的值：
(1)???x?y?1?d?，其中积分区域D???x,y?0?x?1,0?y?2?；
D(2)??sinxsinyd?，其中积分区域D???x,y?0?x??,0?y???；
22D(3)??eDsinxcosyd?，其中积分区域D???x,y?x2?y?4；
2?(4)???x?4y?9?d?，其中积分区域D?22D??x,y?x2?y?4．
2?§2 二重积分的计算
一、直角坐标系下二重积分的计算
由于二重积分的值与积分区域D有关，因此下面在直角坐标系下按积分区域D的类
121
型介绍二重积分??f?x,y?d?的计算方法，其中被积函数f?x,y?为D上连续函数．
D1、积分区域D为X型区域二重积分??f?x,y?d?的计算
D
所谓X型区域是指由曲线y??1?x?和y??2?x?以及直线x?a和x?b所围成的闭区域，这里函数?1?x?、?2?x?在区间[a,b]上连续(如图9-5)．该区域的特点是过D内部任一点作一条平行于y轴的直线，该直线与D的边界交点不超过两个．X型区域D可这样表示：
D???x,y??1?x??y??2?x?,a?x?b．
?若f?x,y??0且在X型区域D上连续，则由二重积分的几何意义知，??f?x,y?d?
D表示的是以D为底，以z?f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积．下面利用“切片法”来计算上述曲顶柱体的体积V．
如图9-6，过x轴上区间[a,b]上任一点x作垂直于x轴的平面，该平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[?1?x?,?2?x?]为底，以曲线z?f?x,y?为曲边的曲边梯形，且截面面积为
A?x?????1?2?x?x?f?x,y?dy．
再利用第六章定积分的几何应用:已知立体的截面面积A?x?，x?[a,b]，则立体体 积公式V??baA?x?dx，可得曲顶柱体的体积V为
babaV??A?x?dx????2?x?f????1?x?dx． ?x,y?dy???122
此体积V的值即为二重积分??f?x,y?d?的值，即有
Dba
??f?x,y?d?D????2?x?fx,． (1) y?yd?xd???x?????1?上式右端称为先对y积分然后再对x积分的二次积分或累次积分．它的实质是计算两次定积分:先把x看成常数，即f?2?x?的定积分
?x,y?只看成
y的函数，对变量y计算从?1?x?到
???1?2?x?x?f?x,y?dy，其结果是x的函数，然后再对变量x计算[a,b]上的定
积分．这种先对y后对x的累次积分也常记作
?因此公式(1)也常写为
badx??2?x??1?x?f?x,y?dy．
??Df?x,y?d???badx??2?x??1?x? (2) f?xy,?yd．
2、积分区域D为Y型区域二重积分??f?x,y?d?的计算
D所谓Y型区域是指由曲线x??1?y?和x??2?y?以及直线y?c和y?d所围成的
?2?y?在区间[c,d]上连续(如图9-7)．闭区域，这里函数?1?y?、该区域的特点是过D内
部任一点作一条平行于x轴的直线，该直线与D的边界交点不超过两个．Y型区域D可这样表示：
D???x,y??1?y??x??2?y?,c?y?d．
?
类似于X型区域D上二重积分??f?x,y?d?计算公式(1)或(2)的推导，容易得到YD型区域D上二重积分??f?x,y?d?可化为先对x积分再对y积分的累次积分来计算，计
D算公式为
123
??f?x,y?d?D??dc??2?y?fx,ydx?dy????????1?y???dcdy??2?y??1?y? (3) f?x,y?dx．
注 上面公式(2)和公式(3)的推导中，总假定了f?x,y??0，实际上此条件可去掉，即对有界闭区域上的任意连续函数f?x,y?，公式(2)和公式(3)均成立．
若积分区域D既是X型区域，又是Y型区域，则有
ba??f?x,y?d???Ddx??2?x??1?x?f?x,y?dy??dcdy??2?y??1?y?f?x,y?dx．
此式说明两个不同顺序的累次积分相等，同为原二重积分之值．但在具体计算中，两种方法的效果有时未必相同，甚至其中一种顺序可能无法进行计算，如下面例3．因此在实际计算中选择恰当的积分次序很关键．
3、积分区域D既非X型区域又非Y型区域
此时可用平行于坐标轴的直线将D分割成几个子区域，使每个子区域成为X型区域或Y型区域．然后利用积分区域可加性，分别计算出相应子区域上的二重积分再求和即可(如图
9-8) ，即
??f?x,y?d?D???f?x,y?d????f?x,y?d????f?x,y?d?D1D2D3．
xy??例1 计算二重积分???1???d?，其中D???x,y??2?y?2,?1?x?1?．
34?D?解 首先画出积分区域D的图形(如图9-9)，D既是X型区域，又是Y型区域．
方法一：按X型区域，即按先y后x的次序计算，有
xy??1???d?????34?D??1?1dx?xy??1???dy ??234??2x12?? ???y?y?y?dx
?138???212?4??4?x?dx?8． ??1?3??1方法二：按Y型区域，即按先x后y的次序计算，有
xy?1?????34D?124
??d???1?xydy1????2??1?34?2??dx ?