,n,???i,?i,?i?，作乘积f??i,?i,?i??Vi?i?1,2?n，并求和?f??i,?i,?i??Vi，记
i?1??max?di?，di为第i个小区域?Vi?i?1,2,?,n?的直径，当??0时，如果上面和
1?i?n式的极限总存在，且与?的分割法及点??i,?i,?i??i?1,2,?,n?的取法无关，则称函数 f?x,y,z?在?上可积，并称此极限值为函数f?x,y,z?在?上的三重积分，记作
???f?x,y,z?dv，即
?n?f??,?,???V???f?x,y,z?dv?lim???0iiii?1i．
其中f?x,y,z?称为被积函数，f?x,y,z?dv称为被积表达式，dv称为体积微元，?称为积分区域，x,y,z称为积分变量．
上述定义中对积分区域?的分割是任意的．在直角坐标系中，如果f?x,y,z?在?上可积，那么可用平行于坐标面的平面来分割?，除了包含?的边界点的一些不规则的小闭区域外，其余的小闭区域??i都是长方体．设小长方体??i的边长为?xi,?yi,?zi，则小长方体的体积?Vi??xi?yi?zi，因此，在直角坐标系中，三重积分的体积微元为
dv?dxdydz．于是三重积分也可记为
???f?x,y,z?dv????f?x,y,z?dxdydz．
??由三重积分的定义可知，前面实例可这样描述:占有空间区域?的空间物体的质量M等于其密度函数??x,y,z?在?上的三重积分，即
M??????x,y,z?dv．
?特别地，当f?x,y,z??1时，三重积分???dv的数值等于空间区域?的体积．
?与二重积分类似，下面不加证明地给出三重积分的存在定理．
定理1 若函数f?x,y,z?在空间有界闭区域?上连续，则f?x,y,z?在区域?上可积．
三重积分的性质与二重积分的性质类似，这里不再一一详述，只简单介绍三重积分的对称性质．例如当积分区域?关于xOy坐标面对称，且被积函数f?x,y,z?关于z是奇(偶)函数，则有
?2f?x,y,z?dv,????f?x,y,z?dv???1?0,?f为z的偶函数，即ff为z的奇函数，即f?x,y,?z???x,y,?z??f?f?x,y,z?,
?????x,y,z?.140
其中?1表示?在xOy坐标面上方的部分． 当积分区域?关于yOz面对称，或关于zOx面对称时，也有类似的结论．
二、直角坐标系下三重积分的计算
1．“先一后二”法
下面从计算空间物体?的质量的模型出发，导出三重积分的计算公式．
设函数f?x,y,z?是空间有界闭区域?上的非负连续函数，则三重积分???f?x,y,z?dv
?可看成占有空间区域?且体密度为f?x,y,z?的空间物体的质量，即
m????f?x,y,z?dv．
?下面从另一角度来计算?的质量．
如图9-26，设物体占有空间区域?，其侧面是母线平行于z轴的柱面，?在xOy面 上的投影区域为Dxy，上、下底面分别为连续函数z?z2?x,y?、z?z1?x,y? ?z1?x,y?，则?可表示为
???z?x,y?
2??x,y,z?z1?x,y??z?z2?x,y?,?x,y??Dxy．
?在区域Dxy内点?x,y,0?处取面积微元d?=dxdy，以
d?的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，此柱面
截取?的部分可看成一根“细棒”，细棒的质量
dm?z2?x,?y?x,y????z?x,?y?1f??zd，x,y,?zdxd y??其中z是积分变量，x,y看作常量．将所有细棒的质量相加，便得到?的质量
m??z2?x,y?f??z1?x,y??dxdy． ?x,y,z?dz?????Dxydm?x,y????Dxy若区域Dxy可以表示为
Dxy???x,y??bay1?x??y?y2?x?,a?x?b，
?则
m?dx?y2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz．
抽去上述具体的质量的含义，便得直角坐标系下三重积分的计算公式
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?x,y,zdv???????????z?x,y?f?Dxy1z2?x,y?fdxdy ?x,y,z?dz???z2?x,y?z1?x,y? =?dx?aby2?x?y1?x?dy?f (1) ?x,y,z?dz，
这样便将三重积分化成了三次积分．
公式(1)是将空间区域?投影到xOy面得到的，有时也可将区域?投影到xOz面或
yOz面上，其方法与上面类似．例如，将区域?投影到xOz面上，设投影区域为Dxz，
则?可表示为
????x,y,z?y1?x,z??y?y2?x,z?,?x,z??Dxz，
?于是有
???f?x,y,z?dv????Dxz?y2?x,z?fx,y,zdy?dxdz． ??????y1?x,z??上面这种按照先定积分后二重积分的步骤计算三重积分的方法称为“先一后二”法． 例1 计算????x?y?z?dxdydz，其中????x,y,z?1?x?2,?2?y?1,0?z?1?．
?解 先对z积分，由于z的变化范围由0到1，于是
????x??y?z?dxdydz????21dx?dx?1?2dy?10?x?y?z?dz
?211??x?y???dy ?22??1 ?213xdx?92．
特别地，若积分区域?为长方体：????x,y,z?a?x?b,c?y?d,e?z?f?， 且被积函数f?x,y,z??g?x?h?y?l?z?，则三重积分可化为三个定积分的乘积，即
????f?x,y,z?dxdydz??bag?x?dx??h?y?dy??l?z?dz．
cedf 例2 计算???xyzdxdydz，其中?由平面x?y?z?1及三个坐标面所围成．
?解 积分区域?如图9-27，它在xOy面上的投影区域Dxy???x,y?0?y?1?x,0?x?1? （如图9-28），则
????x,y,z?0?z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1?．
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于是
???xyzdxdydz????dxdy?Dxy101?x01?x?y0xyzdz
??dx?dy?21?x?y0xydz z ????10dx?dx?x241?x0xyz2xy21?x?y0dy
2 ?101?x0?1?x?y?4dy
?
10?1?x?dx?1720．
当然，本题也可通过将?向xOz面和yOz面投影来计算此三重积分，请读者自己试一试．
2．“先二后一”法
有时计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分，即“先二后一”法．具体如下:
如图9-29，将?向z轴投影，得投影区间[c1,c2]，对任意z?[c1,c2]，用过点?0,0,z?且平行于xOy面的平面截?得到截面Dz，则
????x,y,z?c1?z?c2,?x,y??Dz．
?于是
????f?x,y,z?dxdydz??c2c1dz??fDz?x,y,z?dxdy．
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注 Dz是随z?[c1,c2]而变化的平面区域．计算??f?x,y,z?dxdy时，将z看成常量，
Dz再将??f?x,y,z?dxdy化为累次积分，便可得三次积分．
Dz例3 计算???zdxdydz，其中?是由椭球面
?2xa22?yb22?zc22 ?1所围成的空间闭区域．
解 积分区域?如图9-30所示，?在z轴上的投影区间为[?c,c]，过z轴上区间 xyz该平面截?所得截面为一椭圆：2?2?1?2，[?c,c]上任一点z作垂直于z轴的平面，
abc222??xyz??则?可表示为????x,y,z?2?2?1?2,?c?z?c?．
abc????222于是
????zdxdydz?2??c?c2dz??zdxdy Dz ?c?czdz??dxdy?Dz2?c?cz??Dz?dz，
2其中??Dz?为Dz的面积，且由椭圆面积的计算公式有
??Dz????a1?所以
zc22?b1?zc222?z???ab?1?2?．
c??????2?z?243zdxdydz???ab?1?2?zdz??abc．
?cc?15?2c若将本例中的被积函数z改为1，则可得半轴长为a,b,c的椭球体的体积为
2xa22?yb22?zc22?1
2?z?4dxdydz?dzdxdy??ab1?dz??abc． ??2?????c????cc?3??Dzcc32222进一步地，若a?b?c?R，则可得球体x?y?z?R的体积为?R．
43注 由本例可见，在用先二后一法计算三重积分时，不一定要先化为三次积分后再计算，如果二重积分容易计算，可先将其直接算出．
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