12y?????x?x?x?dy ?264??1?21?1??2?y?dy?8． ??2?2??2特别地，当积分区域D为矩形域D???x,y?c?y?d,a?x?b?，且被积函数可分 离变量，即f?x,y??f1?x?f2?y?时，二重积分
??Df?x,y?d???baf1?x?dx??dcf2?y?dy．
上式右端实际上是两个定积分之积，这样可简化计算．证明留给读者．
例2 计算??xyd?，其中D由抛物线y2?x和直线y?x?2所围闭区域．
D
解 首先画出积分区域D的图形(图9-10)． 方法一：视D为Y型区域，即D?于是
??x,yy?2y2?y2?x?y?2,?1?y?2 ?(如图9-10(a))，
??xyd?D??12?1dy?2xydx??2?1ydy?y?2y2xdx
?45??y?2?2?y4?dy?y． ????128方法二：视D为X型区域，此时须用直线x?1将D分割成
D1???x,y??x?y?x,0?x?1
?和
D2???x,y?x?2?y?x,1?x?4
?两个子区域(如图9-10(b))，则
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??xyd?D???xyd????xyd?D1D2
??10dx?x?xxydy??41dx?xx?2xydy?458．
比较两种方法，显然方法一要简洁些． 例3 计算??Dsinyyd?，其中D是由直线y?x和曲线y?x所围成的闭区域．
解 积分区域D如图9-11所示，显然D既是X型区域，又是Y型区域．若视D为X 型区域，即D???x,y?x?y???Dx,0?x?1，于是
?
sinyyd???10dx?xxsinyydy．
由一元函数积分学知，
sinyy的原函数不能用有限形式的初
等函数表示，计算无法继续．但若改变积分次序，视D为Y型 区域，即D???x,y???Dy?x?y,0?y?1，于是 sinyyd??2?
?10dy?yy2sinyydx
???siny01?ysiny?yd??1．si n1由例2和例3可以看出，将二重积分转化为不同次序的累次积分，其计算难易程度可能不同．在选择积分次序时，既要考虑积分区域的形状，还要考虑被积函数的特性，两者综合考虑才能选择恰当的积分次序．
例4 设f?x,y?连续，改变下列累次积分的积分次序: (1)I???10dx?dx?2x?xx2f?x,y?dy；
10(2)I?1030xf?x,y?dy??1dx?10?x02f?x,y?dy．
解(1)首先根据累次积分的积分限画出X型积分区域D??x,y?x?y?2x?x,0?x?1
2??(如图9-12)，再将D视为Y型区域，即D???x,y?1?1?y?x?y,0?y?1，于是
2?126
I??10dy?y1?1?y2f?x,y?dx．
(2)首先将所给的累次积分看成函数f?x,y?在区域D上的二重积分，积分区域
D?D1?D2(如图9-13)，其中
D1?D2???x,y?0?y?3x,0?x?1，
2???x,y?0?y?10?x,1?x?10，
?2?y?然后视D为Y型区域，即D???x,y??x?9????210?y,0?y?3?，则
??I??30dy?y2910?y2f?x,y?dx．
在第五章定积分中我们知道，奇函数或偶函数在对称区间上的定积分可以相抵消或合成，从而简化了定积分的计算．同样，二重积分也有类似的结论，称为二重积分的对称性质，具体内容如下：
(1) 若积分区域D关于x轴对称，且被积函数f?x,y?关于y为奇(偶)函数，则有
?2f?x,y?d?,???f?x,y?d???D1?0,?f为y的偶函数，即ff为y的奇函数，即f?x,?y??f?x,y?,
??D?x,?y???f?x,y?.其中D1为D在x轴的上半平面部分．
(2) 若积分区域D关于y轴对称，且被积函数f?x,y?关于x为奇(偶)函数，则有
?2f?x,y?d?,???f?x,y?d???D2?0,?f为x的偶函数，即f??x,y??ff为x的奇函数，即f??x,y???f?x,y?,
??D?x,y?.其中D2为D在y轴的右半平面部分．
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(3) 若积分区域D关于原点对称，且被积函数f?x,y?同时为x，y的奇(偶)函数， 则有
?2f?x,y?d?,???f?x,y?d???D3?0,?f同时为x，y的偶函数，即f??x,?y??ff同时为x，y的奇函数，即f??x,?y???f?x,y?,?x,y?.??D其中D3为D的上半平面部分．
(4) 若积分区域D关于直线y?x对称，则有
??f?x,y?d?D???f?y,x?d?D．
利用此结论可简化二重积分的计算，例如上面例2的方法二中，积分区域D1关于x轴 对称，且被积函数f?x,y??xy关于y为奇函数，故可不必将二重积分??xyd?化为累次
D1积分?dx?01x?x而直接由二重积分的对称性质有??xyd??0．但值得注意的是 xydy计算，
D1只有当积分区域D的对称性与被积函数f?x,y?的奇偶性均满足时才能使用此结论．
例5 计算???x?y?d?，其中D???x,y?x?y?1?．
D解 积分区域D如图9-14所示，D既关于x轴对称，又关于y轴对称，且被积函数f?x,y??x?y关于关于x和y均为偶函数，所以
???xD?y?d??4???x?y?d?
D111?x0 ?4?dx?0?x?y?dy?43．
二、极坐标系下二重积分的计算
在介绍极坐标系下二重积分的计算之前，先看下面的例子． 例6 计算I?22??Dx?yd?，其中D???x,y?x22?y?1．
2?解 若采用直角坐标系下的二重积分公式有
I?4?dx?011?x0x?ydy
22128
?2??y0??11x?y?xlny?222?x?y22????1?x2dx
0?1?22?2??1?x?xln0??21?x??dx?? ?x?显然要算出上式右端的定积分并不容易．为了给出简便的计算方法，下面讨论极坐标系下二重积分的计算公式以及如何将二重积分转化为累次积分．
1、极坐标系下二重积分的计算公式
将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需同时将被积函数f?x,y?，积分区域D及面积元素d??dxdy用极坐标表示．
在直角坐标系xOy中，取原点作为极坐标系的极点，取x轴正半轴为极轴(如图9-15)，则点P的直角坐标
?x,y?与极坐标??,??之间有如下关系式:
???x2?y2,?x??cos?,? ?及?y y??sin?,????arctan.x?被积函数f?x,y?的极坐标形式为f??cos?,?sin??．下面问题的关键是极坐标系下面积微元d?用?,?如何表示?为此我们用如下的坐标曲线网去分割区域D，即用一簇同心圆??常数和一簇以极点O为起点的射线??常数来分积分区域D(如图9-16)，将D分???i???i成若干小区域??i?i?1,2,?,n?．设??i为???i，???i???i，???i，
所围区域，则
??i?12??i???i???i?122122?i??i
2 ??i??i??i????i???i．
当??i和??i都充分小时，可略去比?i??i??i更高阶的 无穷小
12???i?2??i，得??i的近似值为
??i??i??i??i．
再利用微分概念便可得极坐标系下的面积元素d?为
d???d?d?．
假定积分区域D在极坐标系下表示为D?，于是有极坐标系下二重积分的表示式为
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