域；
(3)????x?y?z?dv，其中?由三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的闭区域；
?(4)???zdv，其中?是以原点为中心，以R为半径的上半球体；
?(5)???zdv，其中?是由锥面R2z2?h2?x2?y2?及平面z?h?h?0?围成的锥体．
?3．设积分区域?是由曲面z?4?x?y，z?222x?y与平面x?0,y?0围成
2222的位于第一卦限内的闭区域，试将三重积分???f?x?y?z?dv分别表示为直角坐标，
?柱面坐标和球面坐标系中的三次积分．
4．利用柱面坐标计算下列三重积分： (1)???z???x?y22?dv，其中?是由圆柱面x??222?y?1，平面z?0和z?2围成
的圆柱体；
(2)????x?y?dv，其中????x,y,z?x?y?2221??z,z?2?； 2?(3)???zdv，其中?是由球面x2?y2?z2?4与抛物面x2?y2?3z所围成的闭区
?域．
5．利用球面坐标计算下列三重积分： (1)????x?y?zdv，其中?是由曲面x?y?z?z所围成的区域；
222222(2)
22????x?22?y?z?dv，其中?是由圆锥面x2?y2?z2与上半球面
22x?y?z?R22?z?0?所围成；
2222(3)???z?x?y?dv，其中?由球面x?y?z?az?a?0?和x?y?z?2az
222?所围成的立体．
6．选择适当坐标系计算下列三重积分：
23(1)???xyzdv，其中?是由z?xy,y?x,x?1与z?0围成的闭区域；
?150
(2)???(x?y?z)dv，其中?为第一卦限中由旋转抛物面z?x2?y2与圆柱面
?22x?y?1所围成的部分；
22(3)????zln?1?x?y?z222?1?x?y?z222dv，其中????x,y,z?0?z?1?x?y22?．
§4 重积分的应用
和第六章定积分的应用类似，本节主要利用微元法讨论重积分在几何和物理上的一些
应用．
一、几何应用
1.平面图形的面积
由二重积分的定义知，平面图形的面积
A???d?D，
其中D为积分区域．
例1 求双纽线?x2?y2??2a2?x2?y2??a?0?所围区域的面积．
解 在极坐标系下计算，双纽线的极坐标方程为?2?2a2cos2?，由于?2?0，故
?????3?5?????,（如图9-38）． ?44???4,4?????2由对称性，所求面积为
?A?4??d??4?d??0D14a02cos2???d??4a2?40cos2?d??2a．
22.立体的体积
由二重积分的几何意义知，当连续函数f?x,y??0时，二重积分??f?x,y?d?表示
D以曲面z?f?x,y?为顶，以D为底的曲顶柱体的体积，即
V???f?x,y?d?D．
另一方面，空间立体?的体积也可以用三重积分表示为
V?
???dv．
?151
例2 计算由旋转抛物面z?2?x2?y2与平面z?0所围立体的体积．
解 方法一:将所求立体?看作是以旋转抛物面z?2?x2?y2为顶，以
D???x,y?x2?y?2为底的曲顶柱体的体积，于是所求立体体积为
2?V????2?x?y?d??22D?2?0d??20?2????d?
2 ??14??2???202?202d???2?0d??2?．
2方法二:空间立体?在xOy面上的投影为D?V???x,y?x2于是?的体积为 ?y?2，
2????dv????d?D?2?x?y022dz????2?xD?y2?d??2?．
3.曲面的面积
在第六章定积分的应用中，我们已经知道旋转曲面面积的计算公式，下面利用二重积分来推导出一般曲面面积的计算公式．
如图9-39，设空间曲面S的方程为z?f?x,y?，S在xOy面上的投影区域为Dxy， 函数f?x,y?在Dxy上具有一阶连续偏导数fx?x,y?,fy?x,y?，求曲面S的面积．下面利 用微元法来推导面积A的计算公式．
在区域Dxy上任一点P?x,y,0?处取面积微元d?=dxdy，以d?的边界线为准线，作 母线平行于z轴的柱面，它在S上截取的曲面面积微元为
dA．由于f?x,y?具有连续的偏导数，S是光滑曲面，所以S上一点处的面积微元可用其相应的切平面的面积微元来代
替，则
dA?d?cos??1?fx2?x,y??fy2?x,y?dxdy，
其中?是由曲面S在点M?x,y,f?x,y??处切平面的法向量
?n??fx?x,y?,fy?x,y?,?1?
A?与z轴正向的夹角．于是将dA在S上无限累积，便得曲面S的面积公式为
??Dxy1?fx2?x,y??fy2?x,y?dxdy．
同理，若曲面的方程为x?g?y,z?或y?h?z,x?，则可分别将曲面投影到yOz平面或xOz平面上，于是
152
A???Dyz1?gy?y,z??gz22?y,z?dydz，
或
A???Dxz221?hz?z,x??hx?z,x?dzdx．
例3 计算球面x2?y2?z2?R2的表面积．
解 由对称性知:整个球的表面积为上半球面面积的2倍．上半球面的方程为
z?R?x?y，它在xOy面上的投影区域为Dxy?222??x,y?x222?y?R22?．由于
?z?x??xR?x?y222,?z?y??yR?x?y2，
所以
??z???z?1????????x?y????22RR?x?y222，
于是利用极坐标变换有
A?2??DxyRR?x?y2?02222dxdy?2R?R022?0d??R021R??2?d?
??2R?R??222d??2R22?2?02d??4?R．
例4 求两个直圆柱面x?y?R和x?z?R所围立体的表面积． 解 由对称性，只要求出第一卦限所围立体(如图9-40)的表面积，然后乘以8即得所求面积．在第一卦限中，曲面的面 积A?A1?A2，其中A1为在区域D1??x,y?x?y?R,x?0,y?0
22222??上曲面z? A1?R?x的面积，即
22??D11?zx?zydxdy?RR?x02222??D1RR?x222dxdy
??0dx?RR?x22dy?R
2同理，A2为在区域D2?积，即
??x,z?x?z?R,x?0,z?0上曲面y?22?R?x的面
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A2???D21?y?ydxdz?2x2z?R0dx?R?x022RR?x22dz?R．
2 于是所求曲面面积为
8A?8?A1?A2??16R．
2二、物理应用
1.物体的质量
平面薄板的质量m等于它的面密度函数??x,y?在薄片所占区域D上的二重积分，即
m?????x,y?d?D．
空间物体?的质量m等于它的体密度函数??x,y,z?在?上的三重积分，即
m??????x,y,z?dv．
?例5 一半径为2的球体，其密度与点到球心的距离成正比，已知球面上各点的密度等于2，试求该球体的质量．
解 选球心为坐标原点，则球面方程为x2?y2?z24?，密度
??x,y,z??k??x,y,z??2222x?y?．z因为球面上各点的密度等于2，所以k?1，从而
x?y?z，于是所求球体的质量为
M?22????x?y?zdv?222?2?0d??d??rsin?dr?16?．
00?232.物体的质心
设平面上有n个质点组成的质点系，其位置分别为?xi,yi??i?1,2,?,n?，每个质点的质量为mi?i?1,2,?,n?，则由物理学知该质点系的质心坐标?x,y?的计算公式为
nnii?mxx?i?1n?imym?m,y?i?1ni?1iyi?imxm，
?mi?1nniix?mni其中my??mx,mi?1??mi?1yi分别为该质点系对y轴及x轴的静力矩，而m??mi?1i为
质点系的总质量．
设有一平面薄板，占有xOy平面上的有界闭区域D，其上任一点?x,y?处的面密度为
??x,y?，且假定函数??x,y?在D上连续．下面我们用微元法来推导此平面薄板的质心
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