∴，即，解得：PB=， ∴AP=AB﹣PB=3﹣=； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示． ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P， ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°， ∴∠AQB=∠A， ∴BQ=AB， ∴AB=BP，点B为线段AB中点， ∴AP=2AB=2×3=6． 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6． 点评： 本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 43、（2013杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数； ②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数
求k的值．
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．
的图象经过点B，D，
考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解； ②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．
（2）从数学思想上考虑解答． 解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE， ∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED， 根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM， 又∵∠EDM=84°， ∴∠A+3∠A=84°，
解得，∠A=21°； ②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3， ∴点B（3，）， ∵BC=3， ∴点C（3， +2）， ∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1， ∴A（1， +2）， ∵点A也在反比例函数图象上， ∴+2=k， 解得，k=3；
（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题． 44、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形
，
边界上的点），折叠后点A落在A处，给出以下判断： （1）当四边形ACDF为正方形时，EF=2
，
（2）当EF=2时，四边形ACDF为正方形
，
（3）当EF=5时，四边形BACD为等腰梯形；
，
（4）当四边形BACD为等腰梯形时，EF=5。
，
其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）。
45、（2013?益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E． （1）求证：AE=BC； （2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′； （3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
考点： 旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．
分析： （1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案； （2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可； （3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可． 解答： （1）证明：∵AB=BC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE=36°， ∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°， ∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C， ∴AE=BE，BE=BC， ∴AE=BC． （2）证明：∵AC=AB且EF∥BC， ∴AE=AF； 由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′， ∵在△CAE′和△BAF′中 ， ∴△CAE′≌△BAF′， ∴CE′=BF′． （3）存在CE′∥AB， 理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点， 如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， ∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°， ∴α=∠CAM=36°． ②当点E的像E′与点N重合时， 由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°， ∵AM=AN， ∴∠ANM=∠AMN=72°， ∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°， ∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°． 所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 46、（2013?嘉兴）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．
（1）请写出这种做法的理由；
（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由； （3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹． 考点： 作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）根据平行线的性质得出即可； （2）根据题意，有3个角与∠PAB相等．由等腰三角形的性质，可知∠PAB=∠PDA；又对顶角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行线性质，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1； （3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形． 解答： 解：（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）； （2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1， 如图，∵PA=PD， ∴∠PAB=∠PDA， ∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），